题目
2. (5.0分) 若曲线L是上半椭圆{}x=acos ty=bsin tydx-xdy的值为A. pi abB. 0C. (pi)/(2)abD. ab
2. (5.0分) 若曲线L是上半椭圆$\left\{\begin{matrix}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{matrix}\right. $取顺时针方向，则$\int_{L}ydx-xdy$的值为
A. $\pi ab$
B. 0
C. $\frac{\pi}{2}ab$
D. ab
题目解答
答案
A. $\pi ab$
解析
步骤 1：参数方程求导
对给定的参数方程求导，得到 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。
\[ dx = \frac{dx}{dt} \, dt = -a \sin t \, dt, \]
\[ dy = \frac{dy}{dt} \, dt = b \cos t \, dt. \]
步骤 2：代入曲线积分
将 $x$, $y$, $dx$ 和 $dy$ 代入曲线积分 $\int_{L} y \, dx - x \, dy$ 中。
\[ \int_{L} y \, dx - x \, dy = \int_{\pi}^{0} \left( b \sin t \cdot (-a \sin t) - a \cos t \cdot b \cos t \right) \, dt. \]
步骤 3：化简被积函数
化简被积函数，得到常数项。
\[ b \sin t \cdot (-a \sin t) - a \cos t \cdot b \cos t = -ab \sin^2 t - ab \cos^2 t = -ab (\sin^2 t + \cos^2 t) = -ab. \]
步骤 4：计算积分
计算积分，得到最终结果。
\[ \int_{\pi}^{0} -ab \, dt = -ab \int_{\pi}^{0} 1 \, dt = -ab \left[ t \right]_{\pi}^{0} = -ab (0 - \pi) = ab \pi. \]
对给定的参数方程求导，得到 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。
\[ dx = \frac{dx}{dt} \, dt = -a \sin t \, dt, \]
\[ dy = \frac{dy}{dt} \, dt = b \cos t \, dt. \]
步骤 2：代入曲线积分
将 $x$, $y$, $dx$ 和 $dy$ 代入曲线积分 $\int_{L} y \, dx - x \, dy$ 中。
\[ \int_{L} y \, dx - x \, dy = \int_{\pi}^{0} \left( b \sin t \cdot (-a \sin t) - a \cos t \cdot b \cos t \right) \, dt. \]
步骤 3：化简被积函数
化简被积函数，得到常数项。
\[ b \sin t \cdot (-a \sin t) - a \cos t \cdot b \cos t = -ab \sin^2 t - ab \cos^2 t = -ab (\sin^2 t + \cos^2 t) = -ab. \]
步骤 4：计算积分
计算积分，得到最终结果。
\[ \int_{\pi}^{0} -ab \, dt = -ab \int_{\pi}^{0} 1 \, dt = -ab \left[ t \right]_{\pi}^{0} = -ab (0 - \pi) = ab \pi. \]