计算 (int )_(c)^2dz .其中C为从原点到点 1+2i 的直线段.

本题主要考察复数积分的计算，关键是利用参数方程将复积分转化为实积分进行求解。

步骤1：确定积分路径的参数方程

积分路径 $C$ 是从原点 $(0,0)$ 到点 $1+2i$ 的直线段。对于直线段，可设参数方程为：
$z(t) = t + 2ti \quad (t \in [0,1])$
其中，$x(t)=t$（实部），$y(t)=2t$（虚部），$dz = z'(t)dt = (1 + 2i)dt$。

步骤2：将被积函数 $z^2$ 用参数表示

计算 $z(t)^2$：
$z(t)^2 = (t + 2ti)^2 = t^2 + 4t^2i^2 + 4t^2i = t^2 - 4t^2 + 4t^2i = -3t^2 + 4t^2i$

步骤3：转化为实积分并计算

复积分 $\int_C z^2 dz$ 转化为实积分：
$\int_C z^2 dz = \int_0^1 z(t)^2 \cdot z'(t)dt$

代入 $z(t)^2 = -3t^2 + 4t^2i$ 和 $z'(t)=1+2i$：
$z(t)^2 \cdot z'(t) = (-3t^2 + 4t^2i)(1 + 2i)$
展开乘积：
$= -3t^2(1) -3t^2(2i) + 4t^2i(1) + 4t^2i(2i)$
$= -3t^2 -6t^2i +4t^2i +8t^2i^2$
$= -3t^2 -2t^2i -8t^2 \quad (\text{因 } i^2=-1)$
$= -11t^2 -2t^2i$

步骤4：分离实部和虚部积分

$\int_0^1 (-11t^2 -2t^2i)dt = -11\int_0^1 t^2dt -2i\int_0^1 t^2dt$

计算积分：
$\int_0^1 t^2dt = \left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^1 = \frac{1}{3}$

代入得：
$-11 \cdot \frac{1}{3} -2i \cdot \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} - \frac{2}{3}i$