猴子在山上采了100根香蕉，每次最多背50根。离家50米，猴子每走1米要吃1根，最多背多少根回到家？

我们来一步一步分析这道题：

题目回顾：

• 猴子采了 100根香蕉。
• 家离这里 50米远。
• 猴子 最多能背50根香蕉。
• 猴子 每走1米（无论方向），都要吃掉1根香蕉。
• 问：猴子最多能背多少根香蕉回到家？

关键点分析：

1. 猴子每走1米，就要吃1根香蕉，不管是往前走还是往回走。
2. 猴子一次最多背50根，所以如果想把100根都往前运，必须多次往返，建立“中转点”。
3. 目标是最大化最终带回家的香蕉数量。

思路：

由于猴子每走1米都要吃1根香蕉，所以运输过程中会不断消耗香蕉。

为了把100根香蕉向前运，猴子可能需要在某些位置设立“中转站”，分段运输。

但注意：猴子不能中途放下香蕉就不管了，它必须通过多次来回，把香蕉逐步向前搬运。

我们考虑使用分段运输 + 中间缓存的策略。

阶段一：从起点（0米）向前搬运

假设猴子想把100根香蕉从起点运到某个点 A（距离起点 x 米），然后再从 A 点运到家。

由于猴子最多背50根，要运100根，它至少要从起点出发两次（因为一次最多50根）。

但如果它要多次往返，就会产生额外的消耗。

我们来考虑：在什么情况下需要多次往返？

• 如果有 N 根香蕉，猴子每次最多背50根，那么需要的运输次数是：
  • 往返次数 = $ 2 \times \left\lceil \frac{N}{50} \right\rceil - 1 $
  • 因为最后一次不需要返回。

比如：

• 运100根，需要至少 2次去程，所以是：2次去，1次回 → 每米消耗 3 根香蕉（去、回、去）
• 运50根，只需要1次去，不返回 → 每米消耗 1 根

策略：分阶段运输

我们把50米分成若干段，在不同阶段，由于香蕉数量不同，运输策略不同。

阶段1：从 0 米 到 某个点 x，运输100根香蕉

要运100根，猴子至少需要 2次去程，也就是：

• 第一次：背50根，走1米，放下一些，返回（吃2根：去1，回1）
• 第二次：背50根，走1米，与第一次汇合，再一起向前

但注意：猴子不能一次背超过50根。

所以，为了把100根向前移动1米，猴子需要：

• 走3段：去 → 回 → 去（第三次不需要回，因为最后一批）

即：每前进1米，需要走3米的路程（2次去，1次回），所以每米消耗3根香蕉。

但注意：猴子每次只能背50根，所以它不能一次搬完。

具体操作：

• 第一次：背50根，走1米，放下48根（吃掉1根去），返回起点（吃掉1根回来）→ 净放下48根，消耗2根
• 第二次：背剩下的50根，走1米，此时已有48根，加上这50根，共98根在1米处
• 但猴子一次只能背50根，所以它需要从1米处再运这些香蕉

等等，我们来系统化。

更清晰的思路：

我们设法找到最优的“中转点”。

设猴子在某个点 x 米处，把香蕉减少到 ≤50根，然后一次性背回家。

因为一旦香蕉 ≤50根，猴子就可以一次背完，不需要返回，每米只消耗1根。

所以策略是：

• 第一阶段：从 0 到 x 米，运输100根，需要多次往返 → 每米消耗3根
• 第二阶段：从 x 到 50 米，运输 ≤50根，一次运完 → 每米消耗1根

我们来计算。

阶段1：从 0 到 x 米，运输100根

要运100根，猴子需要 2次去程，1次回程（中间返回一次），所以每前进1米，猴子要走3米 → 消耗3根香蕉。

为什么？

• 假设猴子想把100根向前运1米。
• 第一次：背50根 → 走1米（吃1根）→ 放下k根 → 返回（吃1根）→ 回到起点
• 第二次：背50根 → 走1米（吃1根）→ 现在1米处有 k + 50 根
• 但猴子最多背50根，所以它需要从1米处再运

为了最大化效率，猴子在中间点每次尽量少放香蕉，减少来回次数。

但标准解法是：当香蕉数 > 50根时，每前进1米，消耗3根香蕉（因为3次行走：去、回、去）

所以，设我们前进 x 米，使得在 x 米处，剩下的香蕉为：

> 剩余香蕉 = 100 - 3x

我们希望在这个点，香蕉数 ≤ 50，这样猴子可以一次背完，不再需要往返。

设：
> 100 - 3x ≤ 50
> 3x ≥ 50
> x ≥ 50/3 ≈ 16.67

所以，当 x = 17 米时，剩余香蕉 = 100 - 3×17 = 100 - 51 = 49根

也就是说：

• 猴子用51根香蕉的代价，把49根香蕉运到17米处。

（注意：实际是消耗了51根香蕉来“支付”运输过程中的吃掉量）

现在，在17米处有49根香蕉，猴子可以一次背走（≤50），不需要返回。

阶段2：从17米处到50米处，共 33米

猴子背49根，走33米，每走1米吃1根。

所以到达家时剩下：
> 49 - 33 = 16根

答案：最多带回家 16 根香蕉

验证过程是否最优？

我们检查是否可以选择其他中转点。

比如 x = 16 米：

• 阶段1消耗：3×16 = 48 根
• 剩余：100 - 48 = 52 根（还在16米处）
• 但52 > 50，猴子不能一次背完，还需要往返一次

所以从16米到下一个点，运输52根，需要：

• 背50根 → 走1米 → 放下48根 → 返回（吃2根）
• 背剩下的2根 → 走1米 → 拿上之前的48根？不行，总共50根上限

实际上，运输52根，需要2次去程，1次回程 → 每米消耗3根，直到香蕉 ≤50

所以从16米开始，还需要继续以每米3根的消耗运到某个点。

这说明：只要香蕉数 > 50，就必须每米消耗3根

所以最优策略是：一直以每米3根的消耗，直到香蕉 ≤50

即：
> 100 - 3x ≤ 50 → x ≥ 50/3 ≈16.67 → 所以 x = 17 米是最小整数

此时剩余 49 根，可以一次运走。

从17米到50米：33米，吃33根，剩 49 - 33 = 16根

最终答案：

$\boxed{16}$

猴子最多能带 16根香蕉 回到家。