(3)曲线 =sqrt (4ax-{x)^2} 在点 (a,sqrt (3)a) 处的曲率为 ()-|||-(A) dfrac (1)(a) (B)a (C) dfrac (1)(2a) (D)2a
题目解答
答案
解析
本题考查曲线在某点的曲率计算，需先明确曲率公式，再通过求导得到所需的一阶导数和二阶导数，最后代入公式计算。
步骤1：回忆曲率公式
曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率 $K$ 公式为：
$K = \frac{|y''|}{(1 ++**(y')^2)^{\frac{3}{2}}}$
因此需先计算 $y'$ 和 $y''$。
步骤2：确定曲线方程并化简
给定曲线 $y = \sqrt{4ax - x^2}$，可先化简根号内的表达式：
$4ax - x^2 = -(x^2 - 4ax) = -(x - 2a)^2 + 4a^2$
故 $y = \sqrt{4a^2 - (x - 2a)^2}$，这是圆心为 $(2a,0)$、半径为 $2a$ 的上半圆（$y \geq 0$）。
步骤3：计算一阶导数 $y'$
对 $y = \sqrt{4ax - x^2}$ 求导（使用复合函数求导法则）：
$y' = \frac{1}{2}(4ax - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (4a - 2x) = \frac{4a - 2x}{2\sqrt{4ax - x^2}} = \frac{2a - x}{\sqrt{4ax - x^2}}$
步骤4：计算二阶导数 $y''$
对 $y' = \frac{2a - x}{\sqrt{4ax - x^2}}$ 求导（使用商的求导法则）：
设 $u = 2a - x$，$v = \sqrt{4ax - x^2}$，则 $y' = \frac{u}{v}$，
$y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
- $u' = -1$
- $v' = \frac{2a - x}{\sqrt{4ax - x^2}} = y'$（与 $y'$ 表达式一致）
代入得：
$y'' = \frac{(-1)\cdot\sqrt{4ax - x^2} - (2a - x)\cdot y'}{4ax - x^2}$
分子化简：
$-\sqrt{4ax - x^2} - (2a - x)\cdot\frac{2a - x}{\sqrt{4ax - x^2}} = \frac{-(4ax - x^2) - (2a - x)^2}{4ax - x^2}$
展开分子：
$-(4ax - x^2) - (4a^2 - 4ax + x^2) = -4ax + x^2 - 4a^2 + 4ax - x^2 = -4a^2$
故：
$y'' = \frac{-4a^2}{(4ax - x^2)^{\frac{3}{2}}}$
步骤5：代入点 $(a,\sqrt{3}a)$ 计算 $y'$ 和 $y''$
-
计算 $y'$：
$y'(a) = \frac{2a - a}{\sqrt{4a\cdot a - a^2}} = \frac{a}{\sqrt{3a^2}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ -
计算 $y''$：
$y''(a) = \frac{-4a^2}{(4a\cdot a - a^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-4a^2}{(3a^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-4a^2}{(a^2\sqrt{3a^2})} = \frac{-4a^2}{a^3\sqrt{3}} = \frac{-4}{a\sqrt{3}}$
步骤6：代入曲率公式计算 $K$
$K = \frac{|y''(a)|}{(1 + (y'(a))^2)^{\frac{3}{2}}}$
- $|y''(a)| = \frac{4}{a\sqrt{3}}$
- $1 + (y'(a))^2 = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
- $(1 + (y'(a))^2)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
代入得：
$K = \frac{\frac{4}{a\sqrt{3}}}{\frac{8}{3\sqrt{3}}} = \frac{4}{a\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{12}{8a} = \frac{3}{2a}? \quad (\text{此处发现计算错误，重新检查})$
错误修正：二阶导数计算错误
重新计算 $y''$ 的分子：
$u'v - uv' = (-1)\cdot\sqrt{4ax - x^2} - (2a - x)\cdot\left(\frac{2a - x}{\sqrt{4ax - x^2}}\right)$
$= \frac{ - (4ax - x^2) - (2a - x)^2 }{ \sqrt{4ax - x^2} }$
展开：
$- (4ax - x^2) = -4ax + x^2$
$- (2a - x)^2 = - (4a^2 - 4ax + x^2) = -4a^2 + 4ax - x^2$
相加：
$(-4ax + x^2) + (-4a^2 + 4ax - x^2) = -4a^2 \quad (\text{正确})$
$y'' = \frac{ -4a^2 }{ (4ax - x^2)^{3/2} } \quad (\text{正确})$
修正：曲率公式分母计算
$1 + (y')^2 = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$
$(1 + (y')^2)^{3/2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{3/2} = \frac{4^{3/2}}{3^{3/2}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} \quad (\text{正确})$
修正：代入计算
$K = \frac{ | -4a^2 / (3a^2)^{3/2} | }{ (4/3)^{3/2} } = \frac{ 4a^2 / ( (3a^2)\sqrt{3a^2} ) }{ 8/(3\sqrt{3}) }$
$= \frac{4a^2 / (3a^2 \cdot a\sqrt{3}) }{8/(3\sqrt{3})} \quad (\text{因 } \sqrt{3a^2}=a\sqrt{3})$
$= \frac{4/(3a\sqrt{3})}{8/(3\sqrt{3})} = \frac{4}{3a\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{4}{8a} = \frac{1}{2a}$
几何意义验证
上半圆半径 $R = 2a$，圆上任意点的曲率 $K = 1/R = 1/(2a)$，与计算结果一致。