题目
设L是xOy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且 oint_(L) (x-2y), dx + (4x+3y), dy = -9， 则L所围成的平面闭区域D的面积等于() A. (3)/(2)B. (1)/(2)C. 2D. (3)/(4)
设$L$是$xOy$平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
$\oint_{L} (x-2y)\, dx + (4x+3y)\, dy = -9$，
则$L$所围成的平面闭区域$D$的面积等于()
- A. $\frac{3}{2}$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. 2
- D. $\frac{3}{4}$
题目解答
答案
设 $ P = x - 2y $，$ Q = 4x + 3y $，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = 4, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2.
\]
由格林公式（注意 $ L $ 顺时针方向，取负号）：
\[
\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = -\iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\iint_{D} 6 \, dA.
\]
已知积分值为 $-9$，则
\[
-9 = -\iint_{D} 6 \, dA \implies \iint_{D} 6 \, dA = 9.
\]
设区域 $ D $ 面积为 $ A $，则
\[
6A = 9 \implies A = \frac{3}{2}.
\]
**答案：A**
解析
步骤 1：定义$P$和$Q$
设 $ P = x - 2y $，$ Q = 4x + 3y $，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 4, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2. \]
步骤 2：应用格林公式
由格林公式（注意 $ L $ 顺时针方向，取负号）： \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = -\iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\iint_{D} 6 \, dA. \]
步骤 3：计算区域$D$的面积
已知积分值为 $-9$，则 \[ -9 = -\iint_{D} 6 \, dA \implies \iint_{D} 6 \, dA = 9. \] 设区域 $ D $ 面积为 $ A $，则 \[ 6A = 9 \implies A = \frac{3}{2}. \]
设 $ P = x - 2y $，$ Q = 4x + 3y $，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 4, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2. \]
步骤 2：应用格林公式
由格林公式（注意 $ L $ 顺时针方向，取负号）： \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = -\iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = -\iint_{D} 6 \, dA. \]
步骤 3：计算区域$D$的面积
已知积分值为 $-9$，则 \[ -9 = -\iint_{D} 6 \, dA \implies \iint_{D} 6 \, dA = 9. \] 设区域 $ D $ 面积为 $ A $，则 \[ 6A = 9 \implies A = \frac{3}{2}. \]