题目
已知极限underset(lim)(x→1)(（a+b）x+b)/(sqrt(3x+1)-sqrt(x+3))=4，则a= ____ ，b= ____ ．
已知极限$\underset{lim}{x→1}$$\frac{（a+b）x+b}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}$=4，则a= ____ ，b= ____ ．
题目解答
答案
解：∵$\underset{lim}{x→1}$$\frac{（a+b）x+b}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{[（a+b）x+b]（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}{（\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}）（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}$
=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{[（a+b）x+b]（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}{2x-2}$=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故答案为：4；-2．
=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{[（a+b）x+b]（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}{2x-2}$=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故答案为：4；-2．
解析
步骤 1：分子分母有理化
为了消除分母中的根号，我们首先对分母进行有理化处理。为此，我们乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}$，这样可以将分母中的根号去掉。
步骤 2：计算极限
在分子分母同时乘以$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}$后，我们计算极限$\underset{lim}{x→1}$$\frac{[（a+b）x+b]（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}{2x-2}$，并将其设置为等于4。
步骤 3：求解a和b
通过设置极限等于4，我们得到一个方程组，通过解这个方程组，我们可以找到a和b的值。
为了消除分母中的根号，我们首先对分母进行有理化处理。为此，我们乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}$，这样可以将分母中的根号去掉。
步骤 2：计算极限
在分子分母同时乘以$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}$后，我们计算极限$\underset{lim}{x→1}$$\frac{[（a+b）x+b]（\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}）}{2x-2}$，并将其设置为等于4。
步骤 3：求解a和b
通过设置极限等于4，我们得到一个方程组，通过解这个方程组，我们可以找到a和b的值。