题目
1.判别下列反常积分的敛散性:-|||-(8) (int )_(1)^2dfrac (1)(ln x)dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分的类型
该积分是一个反常积分，因为被积函数 $\dfrac{1}{\ln x}$ 在 $x=1$ 处不连续，即在积分区间 $[1,2]$ 的左端点处不连续。因此，我们需要使用极限来判断该积分的敛散性。
步骤 2：使用极限审敛法
我们使用极限审敛法来判断该积分的敛散性。首先，我们计算被积函数在 $x=1$ 处的极限：
$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\ln x}$$
由于 $\ln x$ 在 $x=1$ 处的极限为 $0$，因此我们需要使用洛必达法则来计算上述极限：
$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\ln x} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1^+} x = 1$$
因此，被积函数在 $x=1$ 处的极限为 $1$。
步骤 3：判断积分的敛散性
根据极限审敛法，如果被积函数在积分区间的一个端点处的极限为有限值，则该反常积分收敛。因此，根据上述计算，我们可以得出结论：该反常积分收敛。
该积分是一个反常积分，因为被积函数 $\dfrac{1}{\ln x}$ 在 $x=1$ 处不连续，即在积分区间 $[1,2]$ 的左端点处不连续。因此，我们需要使用极限来判断该积分的敛散性。
步骤 2：使用极限审敛法
我们使用极限审敛法来判断该积分的敛散性。首先，我们计算被积函数在 $x=1$ 处的极限：
$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\ln x}$$
由于 $\ln x$ 在 $x=1$ 处的极限为 $0$，因此我们需要使用洛必达法则来计算上述极限：
$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\ln x} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1^+} x = 1$$
因此，被积函数在 $x=1$ 处的极限为 $1$。
步骤 3：判断积分的敛散性
根据极限审敛法，如果被积函数在积分区间的一个端点处的极限为有限值，则该反常积分收敛。因此，根据上述计算，我们可以得出结论：该反常积分收敛。