47. (2.0分) 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*，则|A^*|=|A|^n-1。 ( )A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及其行列式的计算公式，需要结合行列式的运算性质进行推导。

解题核心思路：

1. 利用伴随矩阵的基本性质 $A A^{*} = |A| I$，对等式两边取行列式。
2. 分析 $|A| \neq 0$ 和 $|A| = 0$ 两种情况，分别验证公式 $|A^{*}| = |A|^{n-1}$ 的正确性。
3. 关键点在于理解伴随矩阵的秩在 $|A|=0$ 时的特性，从而保证公式在所有情况下成立。

步骤1：利用伴随矩阵的基本性质

根据伴随矩阵的定义，有：
$A A^{*} = |A| I$
对等式两边取行列式：
$|A A^{*}| = ||A| I|$

步骤2：展开行列式

• 左边：$|A A^{*}| = |A| \cdot |A^{*}|$（行列式乘法性质）。
• 右边：$||A| I| = |A|^{n}$（标量矩阵的行列式为标量的 $n$ 次方）。
  因此得到：
  $|A| \cdot |A^{*}| = |A|^{n}$

步骤3：分情况讨论

1. 当 $|A| \neq 0$ 时：
   两边同时除以 $|A|$，得：
   $|A^{*}| = |A|^{n-1}$

2. 当 $|A| = 0$ 时：

   • $A$ 奇异，秩小于 $n$，此时 $A^{*}$ 的秩至多为 $1$（或为零矩阵）。
   • 零矩阵的行列式为 $0$，而 $|A|^{n-1} = 0^{n-1} = 0$，等式仍成立。

结论：对任意 $n$ 阶矩阵 $A$，均有 $|A^{*}| = |A|^{n-1}$。