题目

24.（4.0分）假设有三箱同种产品，第一箱、第二箱和第三箱中分别装有产品50件、45件和40件，三箱的次品数分别为5个、3个和4个.现取一个箱子，从这个箱子中任意取一个产品，这个产品为正品的概率为_____.（请用最简分数作答，如1/3）第1空

24.（4.0分）假设有三箱同种产品，第一箱、第二箱和第三箱中分别装有产品50件、45件和40件，三箱的次品数分别为5个、3个和4个.现取一个箱子，从这个箱子中任意取一个产品，这个产品为正品的概率为_____.（请用最简分数作答，如1/3） 第1空

题目解答

答案

为了求出从任意一个箱子中取出一个产品，这个产品为正品的概率，我们可以使用全概率公式。首先，我们定义以下事件： - $ A_1 $：选择第一箱 - $ A_2 $：选择第二箱 - $ A_3 $：选择第三箱 - $ B $：取出的产品为正品 根据题目，每个箱子被选择的概率是相等的，因此： \[ P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \] 接下来，我们计算从每个箱子中取出一个产品为正品的概率： - 第一箱有50件产品，其中5件是次品，所以45件是正品。因此，从第一箱中取出一个产品为正品的概率是： \[ P(B \mid A_1) = \frac{45}{50} = \frac{9}{10} \] - 第二箱有45件产品，其中3件是次品，所以42件是正品。因此，从第二箱中取出一个产品为正品的概率是： \[ P(B \mid A_2) = \frac{42}{45} = \frac{14}{15} \] - 第三箱有40件产品，其中4件是次品，所以36件是正品。因此，从第三箱中取出一个产品为正品的概率是： \[ P(B \mid A_3) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} \] 现在，我们使用全概率公式来求 $ P(B) $： \[ P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + P(A_3)P(B \mid A_3) \] 代入我们已知的值： \[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} \] \[ P(B) = \frac{1}{3} \left( \frac{9}{10} + \frac{14}{15} + \frac{9}{10} \right) \] 为了将括号内的分数相加，我们需要一个公分母。10和15的最小公倍数是30： \[ \frac{9}{10} = \frac{27}{30} \] \[ \frac{14}{15} = \frac{28}{30} \] \[ \frac{9}{10} = \frac{27}{30} \] 所以： \[ \frac{9}{10} + \frac{14}{15} + \frac{9}{10} = \frac{27}{30} + \frac{28}{30} + \frac{27}{30} = \frac{82}{30} = \frac{41}{15} \] 现在代回 $ P(B) $ 的表达式： \[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{41}{15} = \frac{41}{45} \] 因此，从任意一个箱子中取出一个产品，这个产品为正品的概率是： \[ \boxed{\frac{41}{45}} \]

解析

本题考查全概率公式的应用。解题思路是先确定选择每个箱子的概率，再分别计算从每个箱子中取出正品的条件概率，最后利用全概率公式计算从任意一个箱子中取出正品的概率。

  1. 确定选择每个箱子的概率：
    因为有三箱产品，且取一个箱子是等可能的，所以选择第一箱、第二箱、第三箱的概率均为$\frac{1}{3}$，即$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$。
  2. 计算从每个箱子中取出正品的条件概率：
    • 第一箱有$50$件产品，其中$5$件是次品，那么正品有$50 - 5 = 45$件。所以从第一箱中取出一个产品为正品的概率$P(B \mid A_1) = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$。
    • 第二箱有$45$件产品，其中$3$件是次品，那么正品有$45 - 3 = 42$件。所以从第二箱中取出一个产品为正品的概率$P(B \mid A_2) = \frac{42}{45} = \frac{14}{15}$。
    • 第三箱有$40$件产品，其中$4$件是次品，那么正品有$40 - 4 = 36$件。所以从第三箱中取出一个产品为正品的概率$P(B \mid A_3) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$。
  3. 利用全概率公式计算$P(B)$：
    全概率公式为$P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + P(A_3)P(B \mid A_3)$。
    将$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$，$P(B \mid A_1) = \frac{9}{10}$，$P(B \mid A_2) = \frac{14}{15}$，$P(B \mid A_3) = \frac{9}{10}$代入公式可得：
    $\begin{align*}P(B) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{15} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10}\\&= \frac{1}{3} \left( \frac{9}{10} + \frac{14}{15} + \frac{9}{10} \right)\end{align*}$
    为了将括号内的分数相加，先通分，$10$和$15$的最小公倍数是$30$，则$\frac{9}{10} = \frac{27}{30}$，$\frac{14}{15} = \frac{28}{30}$。
    所以$\frac{9}{10} + \frac{14}{15} + \frac{9}{10} = \frac{27}{30} + \frac{28}{30} + \frac{27}{30} = \frac{27 + 28 + 27}{30} = \frac{82}{30} = \frac{41}{15}$。
    将其代回$P(B)$的表达式可得：
    $P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{41}{15} = \frac{41}{45}$