[题1.10] 求下列函数的反函数(用德·摩根定理),并将求出的反函数化简成为最简与或式:-|||-(1) (A+overline (B))overline (C)+overline (C)D-|||-(2) (overline (AB)+overline (BD))(AC+BD)-|||-(3) cdot overrightarrow (B+C)+overrightarrow (AD)

考查要点：本题主要考查逻辑函数的反函数求解及化简能力，需熟练掌握德摩根定理的应用，以及逻辑代数的化简技巧。

解题核心思路：

1. 反函数定义：原函数输出取反后，交换输入输出变量，得到反函数表达式。
2. 德摩根定理：用于将原函数表达式转换为反函数表达式，需注意对偶操作的层次分解。
3. 化简方法：通过逻辑代数规则（如分配律、吸收律等）将反函数化简为最简与或式。

破题关键点：

• 分层应用德摩根定理：对复合逻辑表达式逐层取反，避免遗漏。
• 合并同类项：利用逻辑恒等式（如 $X + X'Y = X + Y$）简化表达式。
• 观察公共因子：提取公共因子或重组项，进一步压缩表达式。

(1) $(A+\overline{B})\overline{C} + \overline{C}D$

求反函数

原函数 $F = (A+\overline{B})\overline{C} + \overline{C}D$，反函数 $\overline{F}$ 为：
$\overline{F} = \left[(A+\overline{B})\overline{C}\right]' \cdot (\overline{C}D)'$

应用德摩根定理

1. $\left[(A+\overline{B})\overline{C}\right]' = (A+\overline{B})' + C = A'\cdot B + C$
2. $(\overline{C}D)' = C + \overline{D}$

展开并化简

$\overline{F} = (A'B + C)(C + \overline{D}) = A'BC + A'B\overline{D} + C$

• 吸收律：$C$ 包含 $A'BC$，故 $\overline{F} = C + A'B\overline{D}$

(2) $(\overline{AB} + \overline{BD})(AC + BD)$

求反函数

原函数 $F = (\overline{AB} + \overline{BD})(AC + BD)$，反函数 $\overline{F}$ 为：
$\overline{F} = (\overline{AB})' \cdot (\overline{BD})' + (AC)' \cdot (BD)'$

应用德摩根定理

1. $(\overline{AB})' = AB$
2. $(\overline{BD})' = BD$
3. $(AC)' = A' + C'$
4. $(BD)' = B' + D'$

展开并化简

$\overline{F} = AB \cdot BD + (A' + C')(B' + D') = ABD + A'B' + A'D' + B'C'$

• 合并同类项：$ABD + A'B' + A'D' + B'C'$ 已为最简形式。

(3) $A \cdot \overrightarrow{B+C} + \overrightarrow{AD}$

蕴含式转换

原函数 $F = A(B' + C) + (A' + D)$，反函数 $\overline{F}$ 为：
$\overline{F} = [A(B' + C)]' \cdot (A' + D)'$

应用德摩根定理

1. $[A(B' + C)]' = A' + (B' + C)' = A' + BC'$
2. $(A' + D)' = AD'$

展开并化简

$\overline{F} = (A' + BC') \cdot AD' = A'AD' + BC'AD' = A'AD' + A'B'C'D'$

• 吸收律：$A'AD' = 0$，故 $\overline{F} = A'B'C'D'$