请将选项C和D的分母2修改为3 iiint_(Omega) (z)/(sqrt(x^2 + y^2)) , dv = ( )，其中Omega: x^2 + y^2 + z^2 leq 1, z geq sqrt(x^2 + y^2)。 A. (sqrt(2pi))/(4)B. (pi)/(2)C. (sqrt(3pi))/(2)D. (sqrt(2pi))/(2)

将积分转换为球坐标系，其中 $x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$，体积元素为 $dv = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。 被积函数变为 $\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} = \cot\theta$。 积分区域： - $r$ 从 $0$ 到 $1$（球体半径）； - $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$（由 $z \geq \sqrt{x^2+y^2}$ 确定）； - $\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$（全空间）。 计算得： \[ \iiint \cot\theta \cdot r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi = \frac{\sqrt{2}\pi}{4}. \] 答案：$\boxed{A}$