题目
10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.
10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.
题目解答
答案
如果要开门,则至少两把中有一把,我们可以反过来算拿不到一把的概率.
则有$$\frac{C_7^{2} }{C_1_0^{2} }=\frac{7}{15}$$,所以能打开的概率为$$P=1-\frac{7}{15} =\frac{8}{15}$$.所以能打开门的概率为$$\frac{8}{15}$$.
解析
步骤 1：确定总的取法
从10把钥匙中任取两把，总的取法数为组合数$$C_{10}^{2}$$，即$$\frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$种。
步骤 2：确定不能打开门的取法
不能打开门的情况是取出的两把钥匙都不能打开门，即从7把不能打开门的钥匙中任取两把，取法数为组合数$$C_{7}^{2}$$，即$$\frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$种。
步骤 3：计算能打开门的概率
能打开门的概率为1减去不能打开门的概率，即$$1 - \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} = 1 - \frac{21}{45} = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$$。
从10把钥匙中任取两把，总的取法数为组合数$$C_{10}^{2}$$，即$$\frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$种。
步骤 2：确定不能打开门的取法
不能打开门的情况是取出的两把钥匙都不能打开门，即从7把不能打开门的钥匙中任取两把，取法数为组合数$$C_{7}^{2}$$，即$$\frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$种。
步骤 3：计算能打开门的概率
能打开门的概率为1减去不能打开门的概率，即$$1 - \frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}} = 1 - \frac{21}{45} = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$$。