31.单选题 [单选题]椭圆x^2+4y^2=4在点(1,(sqrt(3))/(2))处的切线的斜率为()。(2102)A. -(sqrt(3))/(6)B. -1C. (sqrt(3))/(6)D. 1

本题考查椭圆方程的隐函数求导以及导数的几何意义。解题思路是先对椭圆方程进行隐函数求导，得到$y$关于$x$的导数表达式，此导数表达式即为椭圆上任意一点处切线的斜率表达式，再将给定的点代入该表达式，即可求出该点处切线的斜率。

1. 对椭圆方程进行隐函数求导：
   已知椭圆方程$x^{2}+4y^{2}=4$，等式两边同时对$x$求导。
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$x^{2}$求导得$\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$；
   对于$4y^{2}$，因为$y$是关于$x$的函数，所以根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，可得$\frac{d}{dx}(4y^{2}) = 4\times2y\times\frac{dy}{dx}=8y\frac{dy}{dx}$；
   常数$4$的导数为$0$，即$\frac{d}{dx}(4) = 0$。
   则有$2x + 8y\frac{dy}{dx} = 0$。
   移项可得$8y\frac{dy}{dx} = -2x$，
   两边同时除以$8y$（$y\neq0$），解得$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{8y}=-\frac{x}{4y}$。
2. 将点$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$代入导数表达式求切线斜率：
   把$x = 1$，$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$代入$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}$中，可得：
   $k = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,\frac{\sqrt{3}}{2})}=-\frac{1}{4\times\frac{\sqrt{3}}{2}}$
   $=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
   为了将分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$k = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$。