曲线C是自0至1+i的直线段，则int_(C)e^|z|^2(Re)z,dz=（）A. (1)/(4)(e^2+1)(1-i)B. (1)/(4)(e^2+1)(1+i)C. (1)/(4)(e^2-1)(1-i)D. (1)/(4)(e^2-1)(1+i)

本题考查复变函数沿曲线的积分计算，解题思路是先写出直线段的参数方程，然后将被积函数和$dz$用参数表示出来，最后将曲线积分转化为定积分进行计算。

步骤一：写出直线段$C$的参数方程

已知曲线$C$是自$0$至$1 + i$的直线段，根据直线段参数方程的一般形式$z(t)=(1 - t)z_0+tz_1$（$t\in[0,1]$），其中$z_0 = 0$，$z_1 = 1 + i$，可得$z(t)=t(1 + i)=t+it$，$t\in[0,1]$。

步骤二：计算$\vert z(t)\vert^2$、$\text{Re}z(t)$和$dz$

• 计算$\vert z(t)\vert^2$：
  根据复数模的计算公式$\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2}$（$z = a + bi$），可得$\vert z(t)\vert=\sqrt{t^2 + t^2}=\sqrt{2t^2}=\sqrt{2}t$，那么$\vert z(t)\vert^2 = 2t^2$。
• 计算$\text{Re}z(t)$：
  $\text{Re}z(t)$表示$z(t)$的实部，由$z(t)=t+it$可知$\text{Re}z(t)=t$。
• 计算$dz$：
  对$z(t)=t+it$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$z^\prime(t)=(t+it)^\prime=1 + i$，所以$dz = z^\prime(t)dt=(1 + i)dt$。

步骤三：将曲线积分转化为定积分并计算

将$\vert z(t)\vert^2 = 2t^2$、$\text{Re}z(t)=t$和$dz=(1 + i)dt$代入曲线积分$\int_{C}e^{\vert z\vert^2}\text{Re}z\,dz$中，可得：
$\int_{C}e^{\vert z\vert^2}\text{Re}z\,dz=\int_{0}^{1}e^{2t^2}\cdot t\cdot(1 + i)dt=(1 + i)\int_{0}^{1}te^{2t^2}dt$
令$u = 2t^2$，则$du = 4tdt$，当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = 1$时，$u = 2$。
$tdt=\frac{1}{4}du$，则$(1 + i)\int_{0}^{1}te^{2t^2}dt=(1 + i)\int_{0}^{2}\frac{1}{4}e^udu$
根据定积分公式$\int e^udu=e^u+C$，可得：
$(1 + i)\int_{0}^{2}\frac{1}{4}e^udu=\frac{1 + i}{4}\int_{0}^{2}e^udu=\frac{1 + i}{4}(e^u)\big|_{0}^{2}=\frac{1 + i}{4}(e^2 - e^0)=\frac{1}{4}(e^2 - 1)(1 + i)$