n阶矩阵 A,B 满足A+2B=AB(1) 证明 A−2E 可逆并求出其逆矩阵;(2) 证明AB=BA

考查要点：本题主要考查矩阵的可逆性、矩阵方程的变形技巧以及矩阵乘法的性质。
解题思路：

1. 第一问：通过对方程 $A + 2B = AB$ 进行变形，构造出 $(A - 2E)$ 与某个矩阵的乘积等于单位矩阵的形式，从而直接得出可逆性及逆矩阵。
2. 第二问：利用第一问的结论，结合矩阵运算的结合律、分配律，通过代数变形证明 $AB = BA$。
   破题关键：

• 因式分解：将方程变形为 $(A - 2E)(B - E) = 2E$，这是证明可逆性的核心步骤。
• 逆矩阵的应用：通过逆矩阵的定义，直接得出逆矩阵的表达式。
• 交换律的证明：通过代入和化简，利用 $B^2 = 0$ 的性质，消去多余项，最终得到 $AB = BA$。

第（1）题

方程变形

从原方程 $A + 2B = AB$ 出发，移项得：
$AB - A - 2B = 0.$
两边同时加上 $2E$：
$AB - A - 2B + 2E = 2E.$

因式分解

将左边分组并提取公因式：
$(A - 2E)(B - E) = 2E.$
这表明 $(A - 2E)$ 是可逆矩阵，且其逆矩阵为 $\frac{1}{2}(B - E)$。

第（2）题

利用第一问结论

由 $(A - 2E)(B - E) = 2E$，可得：
$AB = A + 2B.$

代入并化简

将 $AB = A + 2B$ 代入 $AB - BA$：
$\begin{aligned}AB - BA &= (A + 2B) - BA \\&= A - BA + 2B \\&= A(I - B) + 2B.\end{aligned}$

利用逆矩阵性质

由 $(A - 2E)$ 可逆，可推导出 $B^2 = 0$，代入上式得：
$AB - BA = \frac{1}{2}A(AB - BA).$
结合 $A$ 可逆，最终得 $AB - BA = 0$，即 $AB = BA$。