题目
10.已知一组实验数据如下:-|||-i 1 2 3 4 5 6 7 8 9-|||-xi 1 3 4 5 6 7 8 9 10-|||-yi 10 5 4 2 1 1 2 3 4-|||-试用最小二乘法求它的多项式拟合曲线,并求出最低点的位置.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定多项式拟合的阶数
根据题目要求，我们首先需要确定多项式的阶数。由于数据点的分布看起来不是线性的，我们选择一个二次多项式来拟合数据，即 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$。
步骤 2：建立最小二乘法方程组
为了找到最佳拟合曲线，我们需要最小化误差平方和，即 $\sum_{i=1}^{n}(y_i - (a_0 + a_1x_i + a_2x_i^2))^2$。这将导致一个线性方程组，可以通过求解该方程组来找到系数 $a_0, a_1, a_2$。
步骤 3：求解系数
通过求解上述方程组，我们可以得到系数 $a_0, a_1, a_2$ 的值。这可以通过矩阵运算或直接求解方程组来完成。
步骤 4：求最低点位置
最低点的位置可以通过求导数并令其等于零来找到。对于二次多项式 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$，其导数为 $y' = a_1 + 2a_2x$。令 $y' = 0$，解出 $x$ 的值，即为最低点的横坐标。将该 $x$ 值代入原多项式方程，即可得到最低点的纵坐标。
根据题目要求，我们首先需要确定多项式的阶数。由于数据点的分布看起来不是线性的，我们选择一个二次多项式来拟合数据，即 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$。
步骤 2：建立最小二乘法方程组
为了找到最佳拟合曲线，我们需要最小化误差平方和，即 $\sum_{i=1}^{n}(y_i - (a_0 + a_1x_i + a_2x_i^2))^2$。这将导致一个线性方程组，可以通过求解该方程组来找到系数 $a_0, a_1, a_2$。
步骤 3：求解系数
通过求解上述方程组，我们可以得到系数 $a_0, a_1, a_2$ 的值。这可以通过矩阵运算或直接求解方程组来完成。
步骤 4：求最低点位置
最低点的位置可以通过求导数并令其等于零来找到。对于二次多项式 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$，其导数为 $y' = a_1 + 2a_2x$。令 $y' = 0$，解出 $x$ 的值，即为最低点的横坐标。将该 $x$ 值代入原多项式方程，即可得到最低点的纵坐标。