已知二次型 f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3，则其相应的实对称矩阵为A. } 1 & 1 & -2 1 & 2 & 0 -2 & 0 & 3

本题考查二次型与实对称矩阵的对应关系。解题思路是根据二次型的一般形式与实对称矩阵元素之间的对应规则来确定矩阵的元素。

对于二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_ix_j$（$a_{ij}=a_{ji}$），其对应的实对称矩阵$A=(a_{ij})$，其中$a_{ii}$是$x_i^2$的系数，$a_{ij}(i\neq j)$是$x_ix_j$系数的一半。

已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3$。

1. 确定矩阵主对角线元素：
   • $x_1^2$的系数为$1$，所以$a_{11}=1$；
   • $x_2^2$的系数为$2$，所以$a_{22}=2$；
   • $x_3^2$的系数为$3$，所以$a_{33}=3$。
2. 确定矩阵非主对角线元素：
   • $x_1x_2$的系数为$2$，则$a_{12}=a_{21}=\frac{2}{2} = 1$；
   • $x_1x_3$的系数为$-4$，则$a_{13}=a_{31}=\frac{-4}{2}=-2$；
   • 二次型中没有$x_2x_3$这一项，即$x_2x_3$的系数为$0$，所以$a_{23}=a_{32}=\frac{0}{2}=0$。

综上，二次型$f(x_1, x_2, x_3)$对应的实对称矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$。