题目

判断题（共10题，10.0分）31.（1.0分）y=2^x+sin2x 是初等函数A 对B 错

判断题（共10题，10.0分） 31.（1.0分） $y=2^{x}+\sin2x$ 是初等函数 A 对 B 错

题目解答

答案

要判断 $ y = 2^x + \sin 2x $ 是否是初等函数，我们需要了解初等函数的定义。初等函数是由基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和有限次的复合运算所得到的函数。 现在，我们来分析函数 $ y = 2^x + \sin 2x $： 1. $ 2^x $ 是指数函数，属于基本初等函数。 2. $ \sin 2x $ 是三角函数与幂函数的复合函数，具体来说， $ \sin 2x $ 是由 $ \sin u $ 和 $ u = 2x $ 复合而成的，其中 $ \sin u $ 是基本初等函数（三角函数）， $ u = 2x $ 是基本初等函数（幂函数）。 将这两个初等函数相加，得到 $ y = 2^x + \sin 2x $。根据初等函数的定义， $ y = 2^x + \sin 2x $ 是初等函数。 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

初等函数的定义是关键：由基本初等函数（常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数）通过有限次四则运算和复合运算构成的函数。本题需判断$y=2^x+\sin2x$是否符合这一定义。

破题点：

  1. 分解函数结构：将函数拆分为$2^x$和$\sin2x$两部分。

  2. 判断各部分是否为基本初等或初等函数：

    • $2^x$是指数函数，属于基本初等函数。
    • $\sin2x$是$\sin u$与$u=2x$的复合，均属于基本初等函数。

  3. 验证运算方式：两部分通过加法（四则运算）组合，符合初等函数的定义。

  4. 分析$2^x$：

    • $2^x$是指数函数，形式为$a^x$（$a>0$且$a \neq 1$），属于基本初等函数。

  5. 分析$\sin2x$：

    • $\sin2x$可看作$\sin u$与$u=2x$的复合。
    • $\sin u$是三角函数（基本初等），$u=2x$是幂函数（$x^1$，基本初等）。
    • 复合后的$\sin2x$属于初等函数。

  6. 组合方式：

    • $2^x$与$\sin2x$通过加法运算组合，符合有限次四则运算的规则。
    • 因此，$y=2^x+\sin2x$是初等函数。