4.已知实数x满足x^2+(1)/(x^2)-3x-(3)/(x)+2=0.求x^3+(1)/(x^3)的值.

考查要点：本题主要考查代数方程的变形技巧，特别是通过变量替换简化方程的能力，以及利用代数恒等式求解高次幂的值。

解题核心思路：

1. 变量替换：设$y = x + \frac{1}{x}$，将原方程中的高次项转化为关于$y$的二次方程。
2. 排除无效解：根据$x$为实数的条件，排除无解的情况。
3. 恒等式应用：利用立方和公式或代数恒等式计算$x^3 + \frac{1}{x^3}$的值。

破题关键点：

• 识别$x^2 + \frac{1}{x^2}$与$x + \frac{1}{x}$的关系，即$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$。
• 验证解的合理性，确保$x$为实数。

步骤1：变量替换简化方程

设$y = x + \frac{1}{x}$，则：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2.$
原方程可变形为：
$(y^2 - 2) - 3y + 2 = 0 \implies y^2 - 3y = 0 \implies y(y - 3) = 0.$
解得$y = 0$或$y = 3$。

步骤2：排除无效解

• 若$y = 0$，则$x + \frac{1}{x} = 0$，两边乘以$x$得$x^2 + 1 = 0$，无实数解。
• 若$y = 3$，则$x + \frac{1}{x} = 3$，满足实数条件。

步骤3：计算$x^3 + \frac{1}{x^3}$

利用立方和公式：
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}\right).$
已知$x + \frac{1}{x} = 3$，则：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 7.$
代入公式得：
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3 \times (7 - 1) = 18.$
或直接利用恒等式：
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 3^3 - 3 \times 3 = 18.$