题目
计算题（共5题，25.0分）19. (5.0分) 求lim_(xtoinfty)((2x-1)^5(3x-2)^10)/((2x-1)^15)
计算题（共5题，25.0分）
19. (5.0分) 求$\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-1)^5(3x-2)^{10}}{(2x-1)^{15}}$
题目解答
答案
将原式化简为：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(3x-2)^{10}}{(2x-1)^{10}} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x-2}{2x-1} \right)^{10}
\]
计算内部极限：
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{3x-2}{2x-1} = \frac{3}{2}
\]
因此，原极限为：
\[
\boxed{\left( \frac{3}{2} \right)^{10}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查多项式分式的极限计算，重点在于通过约分简化表达式，并利用最高次项系数比值求解极限。
解题核心思路：
- 约分简化：分子和分母中的相同因式$(2x-1)$通过指数运算简化。
- 分式极限法则：当$x \to \infty$时，多项式分式的极限由最高次项的系数比值决定。
- 幂运算性质：将简化后的分式整体取幂，最终结果为内部极限的幂次方。
步骤1：约分简化原式
原式为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x-1)^5(3x-2)^{10}}{(2x-1)^{15}}$
分子和分母中的$(2x-1)$可约分：
$\frac{(2x-1)^5}{(2x-1)^{15}} = (2x-1)^{5-15} = (2x-1)^{-10} = \frac{1}{(2x-1)^{10}}$
因此，原式化简为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{(3x-2)^{10}}{(2x-1)^{10}} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x-2}{2x-1} \right)^{10}$
步骤2：计算内部分式的极限
当$x \to \infty$时，分子和分母的最高次项系数主导，因此：
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-2}{2x-1} = \frac{3}{2}$
步骤3：整体取幂
将内部极限结果代入原式：
$\left( \frac{3}{2} \right)^{10}$