求极限 lim_(x to 0) (int_(0)^x sin t^2 dt)/(x - arctan x).
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} dt}{x - \arctan x}$.
题目解答
答案
我们要求极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} \, dt}{x - \arctan x}$
第一步：分析极限类型
当 $ x \to 0 $ 时：
- 分子：$ \int_0^x \sin t^2 \, dt $，当 $ x \to 0 $，积分区间趋于 0，所以积分值趋于 0。
- 分母：$ x - \arctan x $，由于 $ \arctan x \to 0 $，且 $ \arctan x \approx x - \frac{x^3}{3} + \cdots $，所以 $ x - \arctan x \to 0 $。
因此，这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型未定式，可以使用 洛必达法则。
第二步：应用洛必达法则
洛必达法则：若极限为 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $，则
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
设：
- $ f(x) = \int_0^x \sin t^2 \, dt $，则由微积分基本定理，有：
$f'(x) = \sin(x^2)$ - $ g(x) = x - \arctan x $，则：
$g'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x^2}$
因此，
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \frac{1}{1 + x^2}}$
第三步：化简分母
化简分母：
$1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2}$
所以极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \cdot \frac{1 + x^2}{x^2}$
拆开写：
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) \cdot (1 + x^2)$
第四步：利用重要极限
我们知道：
$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$
令 $ u = x^2 $，当 $ x \to 0 $ 时，$ u \to 0 $，所以：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$
而 $ \lim_{x \to 0} (1 + x^2) = 1 $
因此，整个极限为：
$1 \cdot 1 = 1$
最终答案：
$\boxed{1}$
解析
本题主要考查了洛必达法则以及微积分基本定理和重要极限的应用。解题的关键思路是先判断极限类型，若为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，则可使用洛必达法则对分子分母分别求导后再求极限，同时结合微积分基本定理求变上限积分的导数，最后利用重要极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$来计算最终结果。
- 判断极限类型：
- 当$x \to 0$时，对于分子$\int_{0}^{x} \sin t^{2} dt$，因为积分区间$[0,x]$趋于$[0,0]$，即积分区间长度趋于$0$，所以积分值趋于$0$。
- 对于分母$x - \arctan x$，已知$\arctan x$在$x \to 0$时的泰勒展开式为$\arctan x \approx x - \frac{x^3}{3} + \cdots$，所以$x - \arctan x \to 0$。
- 由此可知，该极限是$\frac{0}{0}$型未定式，可以使用洛必达法则。
- 应用洛必达法则：
- 设$f(x) = \int_{0}^{x} \sin t^{2} dt$，根据微积分基本定理，若$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，则$F^\prime(x)=f(x)$，所以$f^\prime(x) = \sin(x^2)$。
- 设$g(x) = x - \arctan x$，对其求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$g^\prime(x) = 1 - \frac{1}{1 + x^2}$。
- 由洛必达法则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t^{2} dt}{x - \arctan x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \frac{1}{1 + x^2}}$。
- 化简分母：
- 对$1 - \frac{1}{1 + x^2}$进行通分计算，$1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2}$。
- 所以极限变为$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{\frac{x^2}{1 + x^2}} = \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \cdot \frac{1 + x^2}{x^2}$，进一步拆分为$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) \cdot (1 + x^2)$。
- 利用重要极限：
- 已知重要极限$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$，令$u = x^2$，当$x \to 0$时，$u \to 0$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$。
- 而$\lim_{x \to 0} (1 + x^2) = 1$。
- 因此，整个极限为$1 \cdot 1 = 1$。