题目
(2) 求函数 z = x ^ ( 3 ) + y ^ ( 3 ) - 3 x ^ ( 2 ) - 3 y ^ ( 2 ) 的极值.
(2) 求函数 $z = x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 }$ 的极值.
题目解答
答案
求偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 6y
\]
解得驻点：
\[
(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)
\]
计算二阶偏导数：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x - 6, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y - 6, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
\]
判别式 $D = (6x-6)(6y-6)$：
- 对于 $(0,0)$：$D = 36 > 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6 < 0$，极大值点
- 对于 $(0,2)$ 和 $(2,0)$：$D = -36 < 0$，非极值点
- 对于 $(2,2)$：$D = 36 > 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6 > 0$，极小值点
计算极值：
\[
z(0,0) = 0, \quad z(2,2) = -8
\]
**答案：**
极大值：$z(0,0) = 0$
极小值：$z(2,2) = -8$
解析
本题考查二元函数极值的求解，解题思路如下：
- 首先，要求函数的极值，需要先求出函数的驻点。驻点是函数一阶偏导数都为零的点，所以我们对函数$z = x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2}$分别求关于$x$和$y$的一阶偏导数。
- 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$z$关于$x$求偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$，把$y$看作常数：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2})=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3})+\frac{\partial}{\partial x}(y^{3})-\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2})$
因为$\frac{\partial}{\partial x}(y^{3}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) = 3x^{2}$，$\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}) = 6x$，所以$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}-6x$。 - 同理，对$z$关于$y$求偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$，把$x$看作常数：
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2})=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{3})-\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})$
因为$\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}) = 0$，$\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3y^{2}$，$\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}) = 6y$，所以$\frac{\partial z}{\partial y}=3y^{2}-6y$。
- 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$z$关于$x$求偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$，把$y$看作常数：
- 然后，令$\frac{\partial z}{\partial x}=0$和$\frac{\partial z}{\partial y}=0$，解方程组来确定驻点。
- 由$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}-6x = 3x(x - 2)=0$，可得$x = 0$或$x = 2$。
- 由$\frac{\partial z}{\partial y}=3y^{2}-6y = 3y(y - 2)=0$，可得$y = 0$或$y = 2$。
- 综合可得驻点为$(0,0)$，$(0,2)$，$(2,0)$，$(2,2)$。
- 接着，求函数的二阶偏导数，用于判断驻点是否为极值点。
- 对$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}-6x$关于$x$求偏导数，可得$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-6x)=6x - 6$。
- 对$\frac{\partial z}{\partial y}=3y^{2}-6y$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}-6y)=6y - 6$。
- 对$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}-6x$关于$y$求偏导数，可得$\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-6x)=0$。
- 再根据判别式$D=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\cdot\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y})^{2}$来判断驻点是否为极值点。
- 对于驻点$(0,0)$：
$D=(6\times0 - 6)(6\times0 - 6)-0^{2}=(-6)\times(-6)=36>0$，且$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=6\times0 - 6=-6<0$，所以$(0,0)$是极大值点。 - 对于驻点$(0,2)$：
$D=(6\times0 - 6)(6\times2 - 6)-0^{2}=(-6)\times6=-36<0$，所以$(0,2)$不是极值点。 - 对于驻点$(2,0)$：
$D=(6\times2 - 6)(6\times0 - 6)-0^{2}=6\times(-6)=-36<0$，所以$(2,0)$不是极值点。 - 对于驻点$(2,2)$：
$D=(6\times2 - 6)(6\times2 - 6)-0^{2}=6\times6 = 36>0$，且$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=6\times2 - 6=6>0$，所以$(2,2)$是极小值点。
- 对于驻点$(0,0)$：
- 最后，将极值点代入原函数求出极值。
- 把$(0,0)$代入$z = x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2}$，可得$z(0,0)=0^{3}+0^{3}-3\times0^{2}-3\times0^{2}=0$。
- 把$(2,2)$代入$z = x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2}$，可得$z(2,2)=2^{3}+2^{3}-3\times2^{2}-3\times2^{2}=8 + 8-12 - 12=-8$。