在K^3中给定两个向量组-|||-_(1)=(-1,1,0) , _(2)=(1,1,1);-|||-(beta )_(1)=(-1,3,0) , (beta )_(2)=(-1,1,-1),-|||-求 [ ((a)_(1),(a)_(2))+L((beta )_(1),(beta )_(2)) 和 ((a)_(1),(a)_(2))cap [ ((beta )_(1),(beta )_(2)) 的维数和一组基.

本题主要考察向量空间的和与交的维数及基的求解，解题思路如下：

1. 求 $L(\alpha_1, \alpha_2)+L(\beta_1, \beta_2)$ 的维数和一组基

• 首先明确 $L(\alpha_1, \alpha_2)+L(\beta_1, \beta_2)=L(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)$，所以只需要求出向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 的一个极大线性无关部分组即可。
• 构造矩阵 $A = \begin{pmatrix}-1&1&0\\1&1&1\\-1&3&0\\-1&1& - 1\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换化为行阶梯形矩阵。
  • 第一行乘以$-1$加到第二行，第一行乘以$-1$加到第三行，第一行乘以$-1$加到第四行，得到$\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&2&1\\0&2&0\\0&0& - 1\end{pmatrix}$。
  • 第二行乘以$-1$加到第三行，得到$\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&2&1\\0&0& - 1\\0&0& - 1\end{pmatrix}$。
  • 第三行乘以$-1$加到第四行，得到$\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&2&1\\0&0& - 1\\0&0&0\end{pmatrix}$。
• 由此可知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ 的秩为$3$。
• 接着通过向量运算找到线性关系，由 $\alpha_1+\alpha_2 - \beta_1+\beta_2 = 0$，即 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+\beta_2$，所以 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_2$ 为 $L(\alpha_1, \alpha_2)+L(\beta_1, \beta_2)$ 的一组基，其维数为$3$。

2. 求 $L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2)$ 的维数和一组基

• 根据维数公式 $\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)+L(\beta_1, \beta_2))=\dim(L(\alpha_1, \alpha_2))+\dim(L(\beta_1, \beta_2))-\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2))$。
• 已知 $\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)) = 2$，$\dim(L(\beta_1, \beta_2)) = 2$，$\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)+L(\beta_1, \beta_2)) = 3$，代入维数公式可得：
  • $3=2 + 2-\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2))$，解得 $\dim(L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2)) = 1$。
• 由 $\alpha_1+\alpha_2=\beta_1 - \beta_2$，可知 $\alpha_1+\alpha_2\in L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2)$，又因为 $\alpha_1+\alpha_2=(0,2,1)\neq 0$，所以 $\alpha_1+\alpha_2$ 为 $L(\alpha_1, \alpha_2)\cap L(\beta_1, \beta_2)$ 的一组基。