题目
若 服从区间上的均匀分布，则（ ）.
若
服从区间
上的均匀分布，则
（ ）.
题目解答
答案
由题意， 服从区间上的均匀分布，则的密度函数为
，
所以
.
故答案为：
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
随机变量 服从区间(0,5)上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：计算概率
根据概率密度函数，计算 $P\{ 2\leqslant x\leqslant 6\}$，即在区间[2,6]上随机变量的概率。由于随机变量的分布区间为(0,5)，因此在区间[5,6]上概率密度函数为0，所以只需计算区间[2,5]上的概率：
\[ P\{ 2\leqslant x\leqslant 6\} = P\{ 2\leqslant x\leqslant 5\} = \int_{2}^{5} f(x) \, dx \]
步骤 3：计算积分
将概率密度函数代入积分中计算：
\[ P\{ 2\leqslant x\leqslant 5\} = \int_{2}^{5} \dfrac{1}{5} \, dx = \dfrac{1}{5} \int_{2}^{5} 1 \, dx = \dfrac{1}{5} [x]_{2}^{5} = \dfrac{1}{5} (5 - 2) = \dfrac{3}{5} \]
随机变量 服从区间(0,5)上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{5}, & 0 < x < 5 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：计算概率
根据概率密度函数，计算 $P\{ 2\leqslant x\leqslant 6\}$，即在区间[2,6]上随机变量的概率。由于随机变量的分布区间为(0,5)，因此在区间[5,6]上概率密度函数为0，所以只需计算区间[2,5]上的概率：
\[ P\{ 2\leqslant x\leqslant 6\} = P\{ 2\leqslant x\leqslant 5\} = \int_{2}^{5} f(x) \, dx \]
步骤 3：计算积分
将概率密度函数代入积分中计算：
\[ P\{ 2\leqslant x\leqslant 5\} = \int_{2}^{5} \dfrac{1}{5} \, dx = \dfrac{1}{5} \int_{2}^{5} 1 \, dx = \dfrac{1}{5} [x]_{2}^{5} = \dfrac{1}{5} (5 - 2) = \dfrac{3}{5} \]