题目
设f(x)连续, varphi (x)=(int )_(0)^1f(xt)dt, 且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x)=A设f(x)连续, varphi (x)=(int )_(0)^1f(xt)dt, 且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x)=A
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：求φ(x)
由题设条件，我们有 $\varphi (x)={\int }_{0}^{1}f(xt)dt$。为了求φ(x)，我们首先需要对积分进行变量替换。令 $u=xt$，则 $du=xdt$，当 $t=0$ 时，$u=0$；当 $t=1$ 时，$u=x$。因此，积分可以写为：
$$\varphi (x)={\int }_{0}^{x}\dfrac {f(u)}{x}du=\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{x}$$
步骤 2：求φ'(x)
为了求φ'(x)，我们使用导数的定义。当 $x\neq 0$ 时，φ'(x) 可以通过求导得到：
$$\varphi '(x)=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{x}\right)=\dfrac {xf(x)-{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}$$
步骤 3：讨论φ'(x)在 x=0 处的连续性
为了讨论φ'(x)在 x=0 处的连续性，我们需要计算φ'(0)。根据导数的定义，我们有：
$$\varphi '(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\varphi (x)-\varphi (0)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}$$
根据洛必达法则，我们有：
$$\varphi '(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{2x}=\dfrac {A}{2}$$
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi '(x)=\lim _{x\rightarrow 0}\left(A-\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}\right)=A-\dfrac {A}{2}=\dfrac {A}{2}=\varphi '(0)$，因此φ'(x)在 x=0 处连续。
由题设条件，我们有 $\varphi (x)={\int }_{0}^{1}f(xt)dt$。为了求φ(x)，我们首先需要对积分进行变量替换。令 $u=xt$，则 $du=xdt$，当 $t=0$ 时，$u=0$；当 $t=1$ 时，$u=x$。因此，积分可以写为：
$$\varphi (x)={\int }_{0}^{x}\dfrac {f(u)}{x}du=\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{x}$$
步骤 2：求φ'(x)
为了求φ'(x)，我们使用导数的定义。当 $x\neq 0$ 时，φ'(x) 可以通过求导得到：
$$\varphi '(x)=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{x}\right)=\dfrac {xf(x)-{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}$$
步骤 3：讨论φ'(x)在 x=0 处的连续性
为了讨论φ'(x)在 x=0 处的连续性，我们需要计算φ'(0)。根据导数的定义，我们有：
$$\varphi '(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\varphi (x)-\varphi (0)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}$$
根据洛必达法则，我们有：
$$\varphi '(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{2x}=\dfrac {A}{2}$$
由于 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi '(x)=\lim _{x\rightarrow 0}\left(A-\dfrac {{\int }_{0}^{x}f(u)du}{{x}^{2}}\right)=A-\dfrac {A}{2}=\dfrac {A}{2}=\varphi '(0)$，因此φ'(x)在 x=0 处连续。