下列哪些算符是线性算符:()A. e^3xB. (d)/(dx)C. sqrt{}D. ((d^2)/(dx^2) - 4x^2)

本题考查线性算符的定义及判断，解题思路是根据线性算符的定义，对每个选项逐一进行验证。线性算符 $\hat{A}$ 需满足对于任意函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，都有 $\hat{A}(c_1f(x) + c_2g(x)) = c_1\hat{A}f(x) + c_2\hat{A}g(x)$。

选项A

设 $\hat{A}=e^{3x}$，对于任意函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，有：
$\hat{A}(c_1f(x) + c_2g(x))=e^{3x}(c_1f(x) + c_2g(x))=c_1e^{3x}f(x)+c_2e^{3x}g(x)=c_1\hat{A}f(x) + c_2\hat{A}g(x)$
所以 $e^{3x}$ 是线性算符。

选项B

设 $\hat{A}=\frac{d}{dx}$，对于任意函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，根据求导的加法法则和数乘法则：
$\hat{A}(c_1f(x) + c_2g(x))=\frac{d}{dx}(c_1f(x) + c_2g(x))=\frac{d}{dx}(c_1f(x))+\frac{d}{dx}(c_2g(x))=c_1\frac{d}{dx}f(x)+c_2\frac{d}{dx}g(x)=c_1\hat{A}f(x) + c_2\hat{A}g(x)$
所以 $\frac{d}{dx}$ 是线性算符。

选项C

设 $\hat{A}=\sqrt{}$，取 $f(x)=x$，$c_1 = 2$，则：
$\hat{A}(c_1f(x))=\sqrt{2x}$
$c_1\hat{A}f(x)=2\sqrt{x}$
因为 $\sqrt{2x}\neq 2\sqrt{x}$，不满足线性算符的定义，所以 $\sqrt{}$ 不是线性算符。

选项D

设 $\hat{A}=\frac{d^2}{dx^2} - 4x^2$，对于任意函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 以及任意常数 $c_1$ 和 $c_2$：
$\hat{A}(c_1f(x) + c_2g(x))=(\frac{d^2}{dx^2} - 4x^2)(c_1f(x) + c_2g(x))$
$=\frac{d^2}{dx^2}(c_1f(x) + c_2g(x))-4x^2(c_1f(x) + c_2g(x))$
根据求导的加法法则和数乘法则，$\frac{d^2}{dx^2}(c_1f(x) + c_2g(x))=c_1\frac{d^2}{dx^2}f(x)+c_2\frac{d^2}{dx^2}g(x)$，则：
$\hat{A}(c_1f(x) + c_2g(x))=c_1\frac{d^2}{dx^2}f(x)+c_2\frac{d^2}{dx^2}g(x)-4x^2c_1f(x)-4x^2c_2g(x)$
$=c_1(\frac{d^2}{dx^2}f(x)-4x^2f(x))+c_2(\frac{d^2}{dx^2}g(x)-4x^2g(x))=c_1\hat{A}f(x) + c_2\hat{A}g(x)$
所以 $\left(\frac{d^2}{dx^2} - 4x^2\right)$ 是线性算符。