2. (2026·全国二卷·高考真题)已知函数f(x)为偶函数，且满足f(x)+f(x-2)=0，且当xin[(3)/(2),3]时，f(x)=x^2+ax+b，则（）A.a=-2，b=-3 B.a=-2，b=3C.a=-4，b=-3 D.a=-4，b=3

题目分析

已知函数 $f(x)$ 为偶函数，且满足 $f(x) + f(x-2) = 0$。当 $x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 时，$f(x) = x^2 + ax + b$。我们需要求出参数 $a$ 和 $b$ 的值。

推理过程

1. 分析函数的周期性

由已知条件 $f(x) + f(x-2) = 0$，我们可以将其改写为：
$f(x) = -f(x-2)$

将 $x$ 替换为 $x+2$，得到：
$f(x+2) = -f(x)$

再将 $x$ 替换为 $x+2$，得到：
$f(x+4) = -f(x+2) = -(-f(x)) = f(x)$

这说明 $f(x)$ 是一个以 $4$ 为周期的周期函数。

2. 寻找函数的对称性

已知 $f(x)$ 是偶函数，即 $f(-x) = f(x)$。
结合 $f(x) = -f(x-2)$，我们将 $x$ 替换为 $-x+2$：
$f(-x+2) = -f(-x) = -f(x)$
同时，由 $f(x) = -f(x-2)$ 可知 $-f(x) = f(x-2)$。
所以有：
$f(-x+2) = f(x-2)$
令 $t = x-2$，则 $-x+2 = -t$，上式即为 $f(-t) = f(t)$，这与偶函数性质一致。

我们进一步观察 $f(x)$ 关于直线 $x=2$ 的对称性：
由 $f(x+2) = -f(x)$ 和 $f(x)$ 是偶函数，可得：
$f(2-x) = f(-(x-2)) = f(x-2) = -f(x) = f(x+2)$
即 $f(2-x) = f(2+x)$，这说明函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称。

3. 确定参数 $a$

题目给出当 $x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 时，$f(x) = x^2 + ax + b$。
由于 $x=2$ 在区间 $\left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 内，且函数在该区间上的解析式是二次函数，而二次函数 $f(x) = x^2 + ax + b$ 的对称轴为 $x = -\frac{a}{2}$。
因为 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称，所以该二次函数的对称轴必须是 $x=2$。
因此：
$-\frac{a}{2} = 2 \implies a = -4$

4. 确定参数 $b$

我们需要利用函数在特定点的值来求 $b$。
在 $f(x) + f(x-2) = 0$ 中，令 $x = 1$：
$f(1) + f(-1) = 0$
因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(-1) = f(1)$。
代入上式得：
$f(1) + f(1) = 0 \implies 2f(1) = 0 \implies f(1) = 0$

再利用 $f(x) = -f(x-2)$，令 $x = 3$：
$f(3) = -f(3-2) = -f(1) = 0$
因为 $x=3$ 在区间 $\left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 内，我们可以将 $x=3$ 代入解析式 $f(x) = x^2 - 4x + b$ 中：
$f(3) = 3^2 - 4 \times 3 + b = 9 - 12 + b = -3 + b = 0$
解得：
$b = 3$

结论

通过以上推理，我们得出 $a = -4$，$b = 3$。

对比选项：
A. $a = -2, b = -3$
B. $a = -2, b = 3$
C. $a = -4, b = -3$
D. $a = -4, b = 3$

正确答案是 D。