题目
(8)设f(x)连续,则 dfrac (d)(dx)(int )_(0)^xtf((x)^2-(t)^2)dt= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，若函数 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，则 $F'(x) = g(x)$。这里，$g(t) = tf(x^2 - t^2)$，且积分上限为 $x$，因此我们需要对 $g(t)$ 在 $t=x$ 处求值。
步骤 2：代入 $t=x$
将 $t=x$ 代入 $g(t)$ 中，得到 $g(x) = xf(x^2 - x^2) = xf(0)$。然而，由于 $f(x)$ 是一个连续函数，我们需要考虑 $f(x^2 - t^2)$ 在 $t=x$ 时的值，即 $f(x^2 - x^2) = f(0)$。
步骤 3：计算导数
根据步骤 1 和步骤 2，我们得到 $\dfrac {d}{dx}{\int }_{0}^{x}tf({x}^{2}-{t}^{2})dt = xf(x^2 - x^2) = xf(0)$。然而，由于 $f(x)$ 是一个连续函数，我们需要考虑 $f(x^2 - t^2)$ 在 $t=x$ 时的值，即 $f(x^2 - x^2) = f(0)$。因此，最终结果为 $xf(x^2)$。
根据微积分基本定理，若函数 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，则 $F'(x) = g(x)$。这里，$g(t) = tf(x^2 - t^2)$，且积分上限为 $x$，因此我们需要对 $g(t)$ 在 $t=x$ 处求值。
步骤 2：代入 $t=x$
将 $t=x$ 代入 $g(t)$ 中，得到 $g(x) = xf(x^2 - x^2) = xf(0)$。然而，由于 $f(x)$ 是一个连续函数，我们需要考虑 $f(x^2 - t^2)$ 在 $t=x$ 时的值，即 $f(x^2 - x^2) = f(0)$。
步骤 3：计算导数
根据步骤 1 和步骤 2，我们得到 $\dfrac {d}{dx}{\int }_{0}^{x}tf({x}^{2}-{t}^{2})dt = xf(x^2 - x^2) = xf(0)$。然而，由于 $f(x)$ 是一个连续函数，我们需要考虑 $f(x^2 - t^2)$ 在 $t=x$ 时的值，即 $f(x^2 - x^2) = f(0)$。因此，最终结果为 $xf(x^2)$。