26.单选题在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y，则E((X)/(Y))=()。(提示：判断X的分布，将Y表示为X的函数)A. 1B. 2ln2-1C. ln2+1D. 0

本题考查均匀分布的概率密度函数以及数学期望的计算。解题的关键在于先确定随机变量$X$的分布，再将$Y$表示为$X$的函数，最后根据数学期望的定义计算$E(\frac{X}{Y})$。

1. 确定$X$的分布：
   已知在区间$(0,2)$上随机取一点，该点将区间分成两段，较短一段的长度记为$X$。因为是在区间$(0,2)$上随机取点，所以$X$服从区间$(0,1)$上的均匀分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}1, & 0<x<1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$。
2. 将$Y$表示为$X$的函数：
   由于$X$是较短一段的长度，$Y$是较长一段的长度，且区间总长度为$2$，所以$Y = 2 - X$。
3. 计算$E(\frac{X}{Y})$：
   根据数学期望的定义$E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$，这里$g(X)=\frac{X}{Y}=\frac{X}{2 - X}$，则有：
   $\begin{align*}E(\frac{X}{Y})&=\int_{0}^{1}\frac{x}{2 - x} \cdot 1dx\\&=\int_{0}^{1}\frac{x - 2 + 2}{2 - x}dx\\&=\int_{0}^{1}(-1 + \frac{2}{2 - x})dx\\&=\int_{0}^{1}(-1)dx + 2\int_{0}^{1}\frac{1}{2 - x}dx\end{align*}$
   分别计算两个积分：
   • 计算$\int_{0}^{1}(-1)dx$：
     根据积分公式$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{1}(-1)dx=-1\times(1 - 0)= -1$。
   • 计算$2\int_{0}^{1}\frac{1}{2 - x}dx$：
     令$u = 2 - x$，则$du = -dx$。当$x = 0$时，$u = 2$；当$x = 1$时，$u = 1$。
     所以$2\int_{0}^{1}\frac{1}{2 - x}dx=-2\int_{2}^{1}\frac{1}{u}du=2\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du$。
     根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u| + C$，可得$2\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du=2[\ln u]_{1}^{2}=2(\ln 2 - \ln 1)=2\ln 2$。
     将两个积分结果相加，可得$E(\frac{X}{Y})=-1 + 2\ln 2 = 2\ln 2 - 1$。