3.计算三重积分 iint f((x)^2+(y)^2)dy, 其中Ω是由曲面 ^2+(y)^2=2z 及平面 z=2 所围成的-|||-闭区域.

本题考查利用柱坐标计算三重积分的知识。解题思路是先根据已知条件确定积分区域$\Omega$在柱坐标下的表示，然后将被积函数和体积元素$dv$转化为柱坐标形式，最后按照柱坐标下三重积分的计算顺序进行计算。

步骤一：确定积分区域$\Omega$在柱坐标下的表示

在柱坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dv = rdzdrd\theta$，且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
已知曲面$x^{2}+y^{2}=2z$及平面$z = 2$，联立$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=2z\\z = 2\end{cases}$，可得$x^{2}+y^{2}=4$，即$r^{2}=4$，所以$r = 2$。
对于$z$，由$x^{2}+y^{2}=2z$可得$z=\frac{r^{2}}{2}$，又因为$z$的上限为$2$，所以$z$的范围是$\frac{r^{2}}{2}\leq z\leq 2$；$r$的范围是$0\leq r\leq 2$；$\theta$的范围是$0\leq\theta\leq 2\pi$。

步骤二：将被积函数和体积元素转化为柱坐标形式

被积函数$f(x^{2}+y^{2})$在柱坐标下变为$f(r^{2})$，体积元素$dv = rdzdrd\theta$，则原三重积分$\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})dv$可转化为$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{\frac{r^{2}}{2}}^{2}r^{2}dz$。

步骤三：计算积分

• 先对$z$积分：
  $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{\frac{r^{2}}{2}}^{2}r^{2}dz=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{3}\left[z\right]_{\frac{r^{2}}{2}}^{2}dr=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{3}(2 - \frac{r^{2}}{2})dr$
• 再对$r$积分：
  $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{3}(2 - \frac{r^{2}}{2})dr=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}(2r^{3}-\frac{1}{2}r^{5})dr$
  $=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left[\frac{2}{4}r^{4}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{2}=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\frac{1}{2}\times2^{4}-\frac{1}{12}\times2^{6}\right)$
  $=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(8-\frac{16}{3}\right)=\int_{0}^{2\pi}d\theta\times\frac{8}{3}$
• 最后对$\theta$积分：
  $\int_{0}^{2\pi}d\theta\times\frac{8}{3}=\frac{8}{3}\times\left[\theta\right]_{0}^{2\pi}=\frac{16\pi}{3}$