设方程e^xy + y^2 = cos x确定y为x的函数，则(dy)/(dx) = （ ）A. (ye^xy + sin x)/(xe^xy) + 2yB. -(e^xy + sin x)/(xe^xy) + 2yC. (e^xy + sin x)/(xe^xy) + 2yD. -(ye^xy + sin x)/(xe^xy) + 2y

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是对方程两边同时关于$x$求导，然后通过移项、合并同类项等操作，解出$\frac{dy}{dx}$。

已知方程$e^{xy} + y^2 = \cos x$，等式两边同时对$x$求导：

• 对$e^{xy}$求导：
  根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = xy$，则$(e^{xy})^\prime=(e^u)^\prime\cdot u^\prime$。
  先对$e^u$关于$u$求导，$(e^u)^\prime = e^u$；再对$u = xy$关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，可得$u^\prime=(xy)^\prime=y + x\frac{dy}{dx}$。
  所以$(e^{xy})^\prime = e^{xy}\cdot(y + x\frac{dy}{dx})$。
• 对$y^2$求导：
  同样根据复合函数求导法则，令$u = y$，则$(y^2)^\prime=(u^2)^\prime\cdot u^\prime$。
  先对$u^2$关于$u$求导，$(u^2)^\prime = 2u$；再对$u = y$关于$x$求导，$u^\prime=\frac{dy}{dx}$。
  所以$(y^2)^\prime = 2y\cdot\frac{dy}{dx}$。
• 对$\cos x$求导：
  根据求导公式$(\cos x)^\prime = -\sin x$。

将上述求导结果代入原方程求导后的式子，可得：
$e^{xy}\cdot(y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\cdot\frac{dy}{dx} = -\sin x$
展开式子得：
$ye^{xy} + xe^{xy}\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -\sin x$
移项，将含有$\frac{dy}{dx}$的项移到等式一边，常数项移到等式另一边：
$xe^{xy}\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -\sin x - ye^{xy}$
提取公因式$\frac{dy}{dx}$得：
$(xe^{xy} + 2y)\frac{dy}{dx} = -\sin x - ye^{xy}$
两边同时除以$xe^{xy} + 2y$，解得：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ye^{xy} + \sin x}{xe^{xy} + 2y}$