题目

解方程组： ) (x)_(1)-(x)_(2)-(x)_(3)=2 2(x)_(1)-(x)_(2)-3(x)_(3)=1 3(x)_(1)+2(x)_(2)-5(x)_(3)=0 .

解方程组：


题目解答

答案

解：

$$\cases { x_1-x_2-x_3=2①\cr 2x_1-x_2-3x_3=1②\cr3x_1+2x_2-5x_3=0③\cr}$$

$$①-②$$得：

$$-x_1+2x_3=1④$$

$$①\times 2+③$$得：

$$5x_1-7x_3=4⑤$$

$$④\times 5+⑤$$得：

$$3x_3=9$$

解得：$$x_3=3$$

将$$x_3$$代入$$④$$，得：

$$-x_1+2\times 3=1$$

解得：$$x_1=5$$

将$$x_1=5$$，$$x_3=3$$代入$$①$$，得：

$$5-x_2-3=2$$

解得：$$x_2=0$$

$$∴$$原方程组的解为$$\cases { x_1=5\cr x_2=0\cr x_3=3\cr}$$

解析

考查要点：本题主要考查三元一次方程组的解法，重点在于通过消元法逐步消去变量，转化为二元或一元方程求解。

解题核心思路：

  1. 消元策略：通过方程之间的线性组合消去变量，将三元方程组逐步简化为二元、一元方程。
  2. 分步代入：先消去$x_2$，得到关于$x_1$和$x_3$的方程；再联立消元求出$x_3$，回代求$x_1$，最后求$x_2$。
  3. 验证答案：将解代入原方程组检验，确保正确性。

破题关键点：

  • 选择消元顺序：优先消去系数简单的变量（如$x_2$），简化计算。
  • 联立方程消元：通过方程间的加减操作，逐步减少未知数数量。

步骤1：消去$x_2$，得到关于$x_1$和$x_3$的方程

  1. 方程① - 方程②：
    $(x_1 - x_2 - x_3) - (2x_1 - x_2 - 3x_3) = 2 - 1$
    化简得：
    $-x_1 + 2x_3 = 1 \quad \text{④}$

  2. 方程① × 2 + 方程③：
    $2(x_1 - x_2 - x_3) + (3x_1 + 2x_2 - 5x_3) = 2 \times 2 + 0$
    化简得：
    $5x_1 - 7x_3 = 4 \quad \text{⑤}$

步骤2：联立④和⑤，解出$x_3$和$x_1$

  1. 方程④ × 5 + 方程⑤：
    $(-5x_1 + 10x_3) + (5x_1 - 7x_3) = 5 + 4$
    化简得：
    $3x_3 = 9 \implies x_3 = 3$

  2. 代入④求$x_1$：
    $-x_1 + 2 \times 3 = 1 \implies x_1 = 5$

步骤3：回代求$x_2$

将$x_1 = 5$和$x_3 = 3$代入方程①：
$5 - x_2 - 3 = 2 \implies x_2 = 0$