-a-|||-1 2 3 n-|||-1 1+2 3 n-|||-1 2 2+3 n =(n-1)!;-|||-1 2 3 (n-1)+n-|||-o

本题考查行列式的计算，解题思路是通过行列式的行变换将原行列式化为上三角形行列式，再根据上三角形行列式的值等于其主对角线元素之积来求解。

设原行列式为\(D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 1 + 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 2 + 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & (n - 1)+n \end{vmatrix}\)。

1. 进行行变换：

   • 用第二行减去第一行，第三行减去第一行，$\cdots$，第$n$行减去第一行。
   • 第二行减去第一行：$(1 - 1, (1 + 2)-2, 3 - 3, \cdots, n - n)=(0, 1, 0, \cdots, 0)$。
   • 第三行减去第一行：$(1 - 1, 2 - 2, (2 + 3)-3, \cdots, n - n)=(0, 0, 2, \cdots, 0)$。
   • $\cdots$
   • 第$n$行减去第一行：$(1 - 1, 2 - 2, 3 - 3, \cdots, ((n - 1)+n)-n)=(0, 0, 0, \cdots, n - 1)$。
   • 经过上述行变换后，行列式$D$变为\(D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n - 1 \end{vmatrix}\)。

2. 计算上三角形行列式的值：

   • 对于上三角形行列式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\)，其值等于主对角线元素之积，即$a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$。
   • 所以$D = 1\times1\times2\times\cdots\times(n - 1)=(n - 1)!$。