1.单选题当x→∞时，(pi)/(2)-arctan x是（）A. 无穷小量B. 无穷大量C. 有界变量D. 无界变量

本题考查无穷小量、无穷大量、有界变量和无界变量的概念，解题思路是根据反正切函数$y = \arctan x$的性质，分析当$x\to\infty$时$\frac{\pi}{2}-\arctan x$的取值范围，进而判断其属于哪种变量类型。

步骤一：明确反正切函数$y = \arctan x$的性质

反正切函数$y = \arctan x$的定义域为$(-\infty, +\infty)$，值域为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，即对于任意的$x\in(-\infty, +\infty)$，都有$-\frac{\pi}{2}\lt{}\arctan x\lt{}\frac{\pi}{2}$。

步骤二：分析$\frac{\pi}{2}-\arctan x$的取值范围

由$-\frac{\pi}{2}\lt{}\arctan x\lt{}\frac{\pi}{2}$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-\frac{\pi}{2}\times(-1)\gt{}\arctan x\times(-1)\gt \frac{\pi}{2}\times(-1)$，即$-\frac{\pi}{2}\lt{}-\arctan x\lt{}\frac{\pi}{2}$。
不等式两边同时加上$\frac{\pi}{2}$，可得$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\lt{}\frac{\pi}{2}-\arctan x\lt{}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$，即$0\lt{}\frac{\pi}{2}-\arctan x\lt{}\pi$。

步骤三：根据变量类型的定义进行判断

• 无穷小量：在某个过程中，极限为$0$的变量称为无穷小量。因为$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{\pi}{2}-\arctan x)$并不等于$0$，所以$\frac{\pi}{2}-\arctan x$不是无穷小量。
• 无穷大量：在某个过程中，绝对值无限增大的变量称为无穷大量。而$\frac{\pi}{2}-\arctan x$的取值范围是$(0, \pi)$，其值不会无限增大，所以$\frac{\pi}{2}-\arctan x$不是无穷大量。
• 有界变量：如果存在正数$M$，使得变量$y$在某个变化过程中，恒有$\vert y\vert\leq M$，则称$y$为有界变量。由于$0\lt{}\frac{\pi}{2}-\arctan x\lt{}\pi$，取$M = \pi$，则$\vert\frac{\pi}{2}-\arctan x\vert\lt{}\pi$，所以$\frac{\pi}{2}-\arctan x$是有界变量。
• 无界变量：在某个过程中，变量的值可以无限增大的变量称为无界变量。因为$\frac{\pi}{2}-\arctan x$的取值范围是$(0, \pi)$，其值不会无限增大，所以$\frac{\pi}{2}-\arctan x$不是无界变量。