4.曲线 =dfrac ({(1+x))^dfrac (3{2)}}(sqrt {x)} 的斜渐近线方程为 __

步骤 1：求斜渐近线的斜率
斜渐近线的斜率 $k$ 可以通过计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ 得到。对于给定的函数 $y=\dfrac {{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}}}{\sqrt {x}}$，我们有：
$$
k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}}}{x\sqrt {x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}}}{x^{\dfrac{3}{2}}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\dfrac{3}{2}} = 1
$$
步骤 2：求斜渐近线的截距
斜渐近线的截距 $b$ 可以通过计算 $\lim_{x \to \infty} (y - kx)$ 得到。对于给定的函数 $y=\dfrac {{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}}}{\sqrt {x}}$，我们有：
$$
b = \lim_{x \to \infty} \left(y - kx\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}}}{\sqrt {x}} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}} - x^{\dfrac{3}{2}}}{\sqrt {x}}\right)
$$
$$
= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{{(1+x)}^{\dfrac {3}{2}} - x^{\dfrac{3}{2}}}{\sqrt {x}}\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x^{\dfrac{1}{2}}}{2}\right) = \frac{3}{2}
$$
步骤 3：写出斜渐近线方程
根据斜率 $k$ 和截距 $b$，斜渐近线方程为 $y = kx + b$。将 $k = 1$ 和 $b = \frac{3}{2}$ 代入，得到斜渐近线方程为 $y = x + \frac{3}{2}$。