题目
[题目]设f(x)在 x=a 的某个邻域内有定义,则f(x)-|||-在 x=a 处可导的一个充分条件是 ()-|||-A. lim _(harrow +infty )h[ f(a+dfrac (1)(h))] -f(a) 存在-|||-B. lim _(harrow 0)dfrac (f(a+2h)-f(a+h))(h) 存在-|||-C. lim _(harrow 0)dfrac (f(a+h)-f(a-h))(2h) 存在-|||-D. lim _(harrow 0)dfrac (f(a)-f(a-h))(h) 存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
$\lim _{h\rightarrow \infty }h[ f(a+\dfrac {1}{h})] -f(a)$ 存在为连续的充分条件，连续不一定可导，例如：$f(x)=|x|$ 在 x=0 处不可导。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}=f(a)$，因此，$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}$ 存在是f(x)在 x=a 处可导的充要条件，因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\dfrac {3f'(a)}{2}$，因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
根据排除法，选项D正确。
$\lim _{h\rightarrow \infty }h[ f(a+\dfrac {1}{h})] -f(a)$ 存在为连续的充分条件，连续不一定可导，例如：$f(x)=|x|$ 在 x=0 处不可导。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}=f(a)$，因此，$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+2h)-f(a+h)}{h}$ 存在是f(x)在 x=a 处可导的充要条件，因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\dfrac {3f'(a)}{2}$，因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
根据排除法，选项D正确。