题目
18. (4.0分) 设 lim_(xto-1)(x^3+ax^2+x+2)/(x+1)=b，则a=____，b=____. 第1空 第2空
18. (4.0分) 设
$\lim_{x\to-1}\frac{x^{3}+ax^{2}+x+2}{x+1}=b$，则a=____，b=____.
第1空
第2空
题目解答
答案
设 $f(x) = x^3 + ax^2 + x + 2$，为使极限存在，需满足 $f(-1) = 0$。代入得：
\[
(-1)^3 + a(-1)^2 + (-1) + 2 = 0 \implies a = 0
\]
将 $a = 0$ 代入原式，得：
\[
\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x + 2}{x+1}
\]
因式分解分子：
\[
x^3 + x + 2 = (x+1)(x^2 - x + 2)
\]
约去公因子：
\[
\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 2) = (-1)^2 - (-1) + 2 = 4
\]
故 $b = 4$。
答案：$\boxed{0, 4}$
解析
考查要点：本题主要考查分式极限存在的条件及多项式因式分解的应用。
解题思路：
- 极限存在的条件：当分母趋近于0时，分子也必须趋近于0，否则极限不存在或趋向无穷大。因此，令分子在$x=-1$时等于0，解出$a$的值。
- 化简求极限：将$a$代入后，通过因式分解或洛必达法则化简分式，直接代入$x=-1$求得$b$的值。
求$a$的值
- 分子在$x=-1$处为0：
设分子$f(x) = x^3 + a x^2 + x + 2$，当$x \to -1$时，分母$x+1 \to 0$，因此需满足$f(-1) = 0$。
代入$x=-1$：
$(-1)^3 + a(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 + a -1 + 2 = a = 0$
解得：$\boxed{a=0}$。
求$b$的值
- 代入$a=0$化简分式：
分子变为$x^3 + x + 2$，因式分解：
$x^3 + x + 2 = (x+1)(x^2 - x + 2)$
分式化简为：
$\frac{(x+1)(x^2 - x + 2)}{x+1} = x^2 - x + 2 \quad (x \neq -1)$ - 直接代入$x=-1$：
$(-1)^2 - (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$
因此，$\boxed{b=4}$。