题目
求(2x-y2)dy-ydx=0的通解．
求(2x-y2)dy-ydx=0的通解．
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程重写为微分方程形式
原方程为 $(2x-y^2)dy-ydx=0$，可以重写为 $dx/dy=(2x-y^2)/y$。
步骤 2：识别方程类型
这是一个一阶线性微分方程，形式为 $dx/dy+P(y)x=Q(y)$，其中 $P(y)=-2/y$，$Q(y)=-y$。
步骤 3：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $dx/dy-2x/y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得 $dx/x=2dy/y$，积分得 $\ln|x|=2\ln|y|+C$，即 $x=Cy^2$。
步骤 4：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $x=C(y)y^2$，代入原方程求解 $C(y)$。将 $x=C(y)y^2$ 代入 $dx/dy=(2x-y^2)/y$，得 $C'(y)y^2+2C(y)y=(2C(y)y^2-y^2)/y$，化简得 $C'(y)=-1/y$，积分得 $C(y)=-\ln|y|+C$。
步骤 5：写出通解
将 $C(y)$ 代入 $x=C(y)y^2$，得 $x=(-\ln|y|+C)y^2$，即 $x=(C-\ln|y|)y^2$。
原方程为 $(2x-y^2)dy-ydx=0$，可以重写为 $dx/dy=(2x-y^2)/y$。
步骤 2：识别方程类型
这是一个一阶线性微分方程，形式为 $dx/dy+P(y)x=Q(y)$，其中 $P(y)=-2/y$，$Q(y)=-y$。
步骤 3：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $dx/dy-2x/y=0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得 $dx/x=2dy/y$，积分得 $\ln|x|=2\ln|y|+C$，即 $x=Cy^2$。
步骤 4：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $x=C(y)y^2$，代入原方程求解 $C(y)$。将 $x=C(y)y^2$ 代入 $dx/dy=(2x-y^2)/y$，得 $C'(y)y^2+2C(y)y=(2C(y)y^2-y^2)/y$，化简得 $C'(y)=-1/y$，积分得 $C(y)=-\ln|y|+C$。
步骤 5：写出通解
将 $C(y)$ 代入 $x=C(y)y^2$，得 $x=(-\ln|y|+C)y^2$，即 $x=(C-\ln|y|)y^2$。