证明当0 < x < 2时，x^2+4x

步骤 1：转换不等式
将原不等式${x}^{2}+4x\lt 4x\ln x+8$转换为$x+4\lt 4\ln x+\dfrac {8}{x}$，这样可以更方便地构造函数进行证明。
步骤 2：构造函数
构造函数$g(x)=x+4-4\ln x-\dfrac {8}{x}$，需要证明在0 < x < 2时，g(x) < 0。
步骤 3：求导数
求g(x)的导数$g'(x)=\dfrac {8}{{x}^{2}}-\dfrac {4}{x}+1$，并化简为$g'(x)=\dfrac {{x}^{2}-4x+8}{{x}^{2}}$。
步骤 4：分析导数
分析导数$g'(x)=\dfrac {{x}^{2}-4x+8}{{x}^{2}}$，由于${x}^{2}-4x+8$的判别式小于0，所以${x}^{2}-4x+8$恒大于0，因此$g'(x)$在(0,2)上恒大于0，即g(x)在(0,2)上单调递增。
步骤 5：验证g(x)在(0,2)上的值
由于g(x)在(0,2)上单调递增，所以g(x)在(0,2)上恒小于g(2)。计算g(2)的值，$g(2)=2-4\ln 2$，由于$4\ln 2>2$，所以$g(2)<0$。
步骤 6：得出结论
由于g(x)在(0,2)上恒小于g(2)，而g(2)<0，所以g(x)<0，即$x+4\lt 4\ln x+\dfrac {8}{x}$，从而证明了原不等式${x}^{2}+4x\lt 4x\ln x+8$在0 < x < 2时成立。