在 R^3 中，与向量 alpha_1=(1,1,1)，alpha_2=(1,2,1) 都正交的单位向量是（ ）。A. (-1,0,1)B. displaystylefrac1(sqrt(2))(-1,0,1)C. (1,0,-1)D. displaystylefrac1(sqrt(2))(1,0,1)

本题考查向量正交的性质以及单位向量的计算。解题思路是先设出与已知向量都正交的向量，根据向量正交的性质列出方程组，求解出该向量，再将其单位化，最后与选项进行对比得出答案。

设与向量 $\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,1)$ 都正交的向量为 $\beta=(x,y,z)$。

• 步骤一：根据向量正交的性质列出方程组
  根据向量正交的定义，若两个向量正交，则它们的内积为$0$。
  因为 $\beta$ 与 $\alpha_1$ 正交，所以 $\beta\cdot\alpha_1 = 0$，即：
  $\begin{align*}x + y + z &= 0\end{align*}$
  又因为 $\beta$ 与 $\alpha_2$ 正交，所以 $\beta\cdot\alpha_2 = 0$，即：
  $\begin{align*}x + 2y + z &= 0\end{align*}$
  得到方程组$\begin{cases}x + y + z = 0\\x + 2y + z = 0\end{cases}$。
• 步骤二：解方程组
  用第二个方程$x + 2y + z = 0$减去第一个方程$x + y + z = 0$，可得：
  $\begin{align*}(x + 2y + z) - (x + y + z) &= 0 - 0\\x + 2y + z - x - y - z &= 0\\y &= 0\end{align*}$
  将$y = 0$代入$x + y + z = 0$，可得$x + z = 0$，即$z = -x$。
  令$x = -1$，则$z = 1$，所以与 $\alpha_1$，$\alpha_2$ 都正交的一个向量为 $\beta = (-1,0,1)$。
• 步骤三：将向量 $\beta$ 单位化
  向量 $\beta$ 的模$\vert\beta\vert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
  单位向量是指模等于$1$的向量，所以与 $\alpha_1$，$\alpha_2$ 都正交的单位向量为$\frac{\beta}{\vert\beta\vert} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)$。