题目
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且f(0)=f'(0)=...=f^(n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明: dfrac (f(x))({x)^n}=dfrac (f(n)(theta x))(n!) (0<θ<1).
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且$$f(0)=f'(0)=...=f^{(n-1)}(0)=0$$, 试用柯西中值定理证明:
(0<θ<1).
题目解答
答案
证明 根据柯西中值定理
(ξ1介于0与x之间),
(ξ2介于0与ξ1之间),
(ξ3介于0与ξ2之间),
依次下去可得
(ξn介于0与ξn-1之间),
所以
.
由于ξn可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以 (0<θ<1).
解析
步骤 1：应用柯西中值定理
根据柯西中值定理，对于函数$f(x)$和$g(x)=x^n$，在区间$[0, x]$上，存在$\xi_1 \in (0, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_1)}$$
由于$f(0) = 0$和$g(0) = 0$，上式简化为
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}}$$
步骤 2：递归应用柯西中值定理
对$f'(\xi_1)$应用柯西中值定理，存在$\xi_2 \in (0, \xi_1)$，使得
$$\frac{f'(\xi_1) - f'(0)}{n\xi_1^{n-1} - n\cdot 0^{n-1}} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}$$
由于$f'(0) = 0$，上式简化为
$$\frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}$$
步骤 3：继续递归应用柯西中值定理
重复上述步骤，直到应用到$f^{(n-1)}(\xi_{n-1})$，存在$\xi_n \in (0, \xi_{n-1})$，使得
$$\frac{f^{(n-1)}(\xi_{n-1})}{n(n-1)\cdots 2\xi_{n-1}^1} = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$$
步骤 4：将所有步骤的结果合并
将所有步骤的结果合并，得到
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$$
步骤 5：表示$\xi_n$为$\theta x$
由于$\xi_n$在$(0, x)$内，可以表示为$\xi_n = \theta x$，其中$0 < \theta < 1$，因此
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}$$
根据柯西中值定理，对于函数$f(x)$和$g(x)=x^n$，在区间$[0, x]$上，存在$\xi_1 \in (0, x)$，使得
$$\frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_1)}$$
由于$f(0) = 0$和$g(0) = 0$，上式简化为
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}}$$
步骤 2：递归应用柯西中值定理
对$f'(\xi_1)$应用柯西中值定理，存在$\xi_2 \in (0, \xi_1)$，使得
$$\frac{f'(\xi_1) - f'(0)}{n\xi_1^{n-1} - n\cdot 0^{n-1}} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}$$
由于$f'(0) = 0$，上式简化为
$$\frac{f'(\xi_1)}{n\xi_1^{n-1}} = \frac{f''(\xi_2)}{n(n-1)\xi_2^{n-2}}$$
步骤 3：继续递归应用柯西中值定理
重复上述步骤，直到应用到$f^{(n-1)}(\xi_{n-1})$，存在$\xi_n \in (0, \xi_{n-1})$，使得
$$\frac{f^{(n-1)}(\xi_{n-1})}{n(n-1)\cdots 2\xi_{n-1}^1} = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$$
步骤 4：将所有步骤的结果合并
将所有步骤的结果合并，得到
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{n!}$$
步骤 5：表示$\xi_n$为$\theta x$
由于$\xi_n$在$(0, x)$内，可以表示为$\xi_n = \theta x$，其中$0 < \theta < 1$，因此
$$\frac{f(x)}{x^n} = \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}$$