题目
(12)已知f(x)的一个原函数为ln^2x,则 int xf'(x)dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定原函数
已知f(x)的一个原函数为$\ln^2x$，即$\int f(x)dx = \ln^2x + C$。
步骤 2：应用分部积分法
根据分部积分法，$\int u dv = uv - \int v du$，我们设$u = x$，$dv = f'(x)dx$，则$du = dx$，$v = f(x)$。因此，$\int xf'(x)dx = x\cdot f(x) - \int f(x)dx$。
步骤 3：代入原函数
由于$f(x)$的原函数为$\ln^2x$，则$f(x) = \frac{d}{dx}(\ln^2x) = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$。因此，$\int xf'(x)dx = x\cdot \frac{2\ln x}{x} - \int \frac{2\ln x}{x}dx = 2\ln x - \int \frac{2\ln x}{x}dx$。
步骤 4：计算积分
$\int \frac{2\ln x}{x}dx = 2\int \frac{\ln x}{x}dx = 2\int \ln x d(\ln x) = 2\cdot \frac{1}{2}{\ln}^2x = {\ln}^2x$。因此，$\int xf'(x)dx = 2\ln x - {\ln}^2x + C$。
已知f(x)的一个原函数为$\ln^2x$，即$\int f(x)dx = \ln^2x + C$。
步骤 2：应用分部积分法
根据分部积分法，$\int u dv = uv - \int v du$，我们设$u = x$，$dv = f'(x)dx$，则$du = dx$，$v = f(x)$。因此，$\int xf'(x)dx = x\cdot f(x) - \int f(x)dx$。
步骤 3：代入原函数
由于$f(x)$的原函数为$\ln^2x$，则$f(x) = \frac{d}{dx}(\ln^2x) = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$。因此，$\int xf'(x)dx = x\cdot \frac{2\ln x}{x} - \int \frac{2\ln x}{x}dx = 2\ln x - \int \frac{2\ln x}{x}dx$。
步骤 4：计算积分
$\int \frac{2\ln x}{x}dx = 2\int \frac{\ln x}{x}dx = 2\int \ln x d(\ln x) = 2\cdot \frac{1}{2}{\ln}^2x = {\ln}^2x$。因此，$\int xf'(x)dx = 2\ln x - {\ln}^2x + C$。