题目
7.4.23 方程 (dy)/(dx) - (2y)/(x+1) = (x+1)^5/2的通解为() A. y = (2)/(3)(x+1)^2 [(x+1)^3/2 + C] B. y = (x+1)^w [ (2)/(3)(x+1)^2 + C] C. y = (x+1)^2 [ (2)/(3)(x+1)^3/2 + C] D. y = (x+1)^3 [ (2)/(3)(x+1)^1/2 + C]
$$ 7.4.23\ \ 方程 $\frac{dy}{dx}\ \ - \frac{2y}{x+1}\ \ = (x+1)^{5/2}$的通解为() $$
- A. $$ $y = \frac{2}{3}(x+1)^{2}\ \ [(x+1)^{3/2}\ \ + C]$ $$
- B. $$ $y = (x+1)^{w}\ \ [ \frac{2}{3}(x+1)^{2}\ \ + C]$ $$
- C. $$ $y = (x+1)^{2}\ \ [ \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\ \ + C]$ $$
- D. $$ $y = (x+1)^{3}\ \ [ \frac{2}{3}(x+1)^{1/2}\ \ + C]$ $$
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：识别方程类型
方程 $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^{5/2}$ 是一阶线性非齐次微分方程，其中 $P(x) = -\frac{2}{x+1}$，$Q(x) = (x+1)^{5/2}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = 0$。分离变量得 $\frac{dy}{y} = \frac{2}{x+1}dx$，积分得 $\ln|y| = 2\ln|x+1| + C$，即 $y = C(x+1)^2$。
步骤 3：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $y = u(x)(x+1)^2$，代入原方程得 $u'(x)(x+1)^2 = (x+1)^{5/2}$，即 $u'(x) = (x+1)^{1/2}$。积分得 $u(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$。因此，$y = (x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C]$。
方程 $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^{5/2}$ 是一阶线性非齐次微分方程，其中 $P(x) = -\frac{2}{x+1}$，$Q(x) = (x+1)^{5/2}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = 0$。分离变量得 $\frac{dy}{y} = \frac{2}{x+1}dx$，积分得 $\ln|y| = 2\ln|x+1| + C$，即 $y = C(x+1)^2$。
步骤 3：求解非齐次方程
使用常数变易法，设 $y = u(x)(x+1)^2$，代入原方程得 $u'(x)(x+1)^2 = (x+1)^{5/2}$，即 $u'(x) = (x+1)^{1/2}$。积分得 $u(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$。因此，$y = (x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C]$。