题目
iiint_(Omega) x , dx , dy , dz = ( )， 其中 Omega 为三个坐标面及平面 x + y + z = 1 所围成的闭区域。 A. (1)/(24)B. (1)/(21)C. (1)/(18)D. (1)/(8)
$\iiint_{\Omega} x \, dx \, dy \, dz = (\quad)$，
其中 $\Omega$ 为三个坐标面及平面 $x + y + z = 1$ 所围成的闭区域。
- A. $\frac{1}{24}$
- B. $\frac{1}{21}$
- C. $\frac{1}{18}$
- D. $\frac{1}{8}$
题目解答
答案
将积分区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，积分区域为三角形 $0 \leq y \leq 1-x$，$0 \leq x \leq 1$。对 $z$ 积分得：
\[
\int_{0}^{1-x-y} x \, dz = x(1-x-y).
\]
再对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{1-x} x(1-x-y) \, dy = \frac{x(1-x)^2}{2}.
\]
最后对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} \frac{x(1-x)^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3) \, dx = \frac{1}{24}.
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：确定积分区域 $\Omega$
积分区域 $\Omega$ 由三个坐标面及平面 $x + y + z = 1$ 所围成。将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，积分区域为三角形 $0 \leq y \leq 1-x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 2：对 $z$ 积分
对 $z$ 积分得：\[ \int_{0}^{1-x-y} x \, dz = x(1-x-y). \]
步骤 3：对 $y$ 积分
再对 $y$ 积分：\[ \int_{0}^{1-x} x(1-x-y) \, dy = \frac{x(1-x)^2}{2}. \]
步骤 4：对 $x$ 积分
最后对 $x$ 积分：\[ \int_{0}^{1} \frac{x(1-x)^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3) \, dx = \frac{1}{24}. \]
积分区域 $\Omega$ 由三个坐标面及平面 $x + y + z = 1$ 所围成。将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，积分区域为三角形 $0 \leq y \leq 1-x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 2：对 $z$ 积分
对 $z$ 积分得：\[ \int_{0}^{1-x-y} x \, dz = x(1-x-y). \]
步骤 3：对 $y$ 积分
再对 $y$ 积分：\[ \int_{0}^{1-x} x(1-x-y) \, dy = \frac{x(1-x)^2}{2}. \]
步骤 4：对 $x$ 积分
最后对 $x$ 积分：\[ \int_{0}^{1} \frac{x(1-x)^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3) \, dx = \frac{1}{24}. \]