假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间(EX)为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下，工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数FY(y)．

考查要点：本题主要考查指数分布的性质、随机变量函数的分布以及分段函数的构建。关键在于理解设备工作时间$Y$是$X$与定值2的最小值，即$Y = \min(X, 2)$，并据此推导其分布函数。

解题核心思路：

1. 明确变量关系：设备实际工作时间$Y$由无故障时间$X$和固定关机时间2小时共同决定。
2. 分段讨论：根据$Y$的取值范围（$y \leq 0$、$0 < y < 2$、$y \geq 2$）分段分析概率。
3. 利用指数分布函数：当$0 < y < 2$时，$Y \leq y$等价于$X \leq y$，直接应用指数分布函数$F_X(y)$。

破题关键点：

• 指数分布参数确定：平均无故障时间$E(X) = 5$小时，参数$\lambda = \frac{1}{5}$。
• 事件等价转换：$Y \leq y$的条件转化为$X \leq y$（当$0 < y < 2$时）。

步骤1：确定指数分布参数

已知$X \sim \text{指数分布}(\lambda)$，且$E(X) = 5$小时，因此$\lambda = \frac{1}{E(X)} = \frac{1}{5}$。指数分布函数为：
$F_X(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\frac{x}{5}}, \quad x \geq 0.$

步骤2：分析$Y = \min(X, 2)$的分布

• 当$y \leq 0$时：$Y$不可能小于等于$y$，故$F_Y(y) = 0$。
• 当$y \geq 2$时：无论$X$是否超过2小时，$Y$最多为2小时，故$F_Y(y) = 1$。
• 当$0 < y < 2$时：$Y \leq y$等价于$X \leq y$（因为若$X > y$，则$Y = \min(X, 2) \geq y$）。因此：
  $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X \leq y) = F_X(y) = 1 - e^{-\frac{y}{5}}.$

步骤3：综合结果

将上述分段结果整合，得到$Y$的分布函数：
$F_Y(y) = \begin{cases}0, & y \leq 0, \\1 - e^{-\frac{y}{5}}, & 0 < y < 2, \\1, & y \geq 2.\end{cases}$