lim _(xarrow infty )3x-(x)^2ln (1+dfrac (3)(x))

本题考查极限的计算，解题思路是通过换元法将原式转化为关于新变量的极限，再利用洛必达法则进行求解。

1. 换元：
   令$x = \frac{1}{t}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$。
   将$x = \frac{1}{t}$代入原式$\lim _{x\rightarrow \infty }3x - x^{2}\ln(1 + \frac{3}{x})$可得：
   $\lim _{t\rightarrow 0}\frac{3}{t}-\frac{1}{t^{2}}\ln(1 + 3t)=\lim _{t\rightarrow 0}\frac{3t-\ln(1 + 3t)}{t^{2}}$
2. 使用洛必达法则：
   此时，该极限为$\frac{0}{0}$型，根据洛必达法则，对分子分母分别求导。
   分子$(3t - \ln(1 + 3t))'$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(\ln X)^\prime=\frac{1}{X}$可得：
   $(3t - \ln(1 + 3t))'=3-\frac{3}{1 + 3t}$
   分母$(t^{2})' = 2t$
   则$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{3t-\ln(1 + 3t)}{t^{2}}=\lim _{t\rightarrow 0}\frac{3-\frac{3}{1 + 3t}}{2t}$
3. 通分并化简：
   对$\frac{3-\frac{3}{1 + 3t}}{2t}$通分可得：
   $\frac{3-\frac{3}{1 + 3t}}{2t}=\frac{\frac{3(1 + 3t)-3}{1 + 3t}}{2t}=\frac{\frac{3 + 9t - 3}{1 + 3t}}{2t}=\frac{\frac{9t}{1 + 3t}}{2t}=\frac{9t}{2t(1 + 3t)}=\frac{9}{2(1 + 3t)}$
4. 求极限：
   $\lim _{t\rightarrow 0}\frac{9}{2(1 + 3t)}=\frac{9}{2(1 + 3\times0)}=\frac{9}{2}$