题目

(2025 浙江)求不定积分int(x^3)/(sqrt[3](1-2x^2) )dx.

(2025 浙江)求不定积分$\int\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1-2x^{2}} }dx$.

题目解答

答案

为了求不定积分 $\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{1-2x^2}} \, dx$，我们将使用换元法。设 $u = 1 - 2x^2$。那么，我们有 $du = -4x \, dx$，或者等价地，$x \, dx = -\frac{1}{4} \, du$。 将积分用 $u$ 表示，我们首先将 $x^3$ 写作 $x^2 \cdot x$。由于 $u = 1 - 2x^2$，我们有 $x^2 = \frac{1 - u}{2}$。因此，积分变为： \[ \int \frac{x^3}{\sqrt[3]{1-2x^2}} \, dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt[3]{u}} \, dx = \int \frac{\frac{1 - u}{2} \cdot x}{\sqrt[3]{u}} \, dx = \int \frac{\frac{1 - u}{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \left(-\frac{1}{4} \, du\right) \] 简化被积函数，我们得到： \[ -\frac{1}{8} \int \frac{1 - u}{\sqrt[3]{u}} \, du = -\frac{1}{8} \int \left( \frac{1}{\sqrt[3]{u}} - \frac{u}{\sqrt[3]{u}} \right) \, du = -\frac{1}{8} \int \left( u^{-\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} \right) \, du \] 现在，我们可以分别积分每一项： \[ -\frac{1}{8} \left( \int u^{-\frac{1}{3}} \, du - \int u^{\frac{2}{3}} \, du \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right) + C = -\frac{1}{8} \left( \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} \right) + C \] 进一步简化，我们得到： \[ -\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C = -\frac{3}{16} u^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{40} u^{\frac{5}{3}} + C \] 将 $u = 1 - 2x^2$ 代回，我们得到： \[ -\frac{3}{16} (1 - 2x^2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{40} (1 - 2x^2)^{\frac{5}{3}} + C \] 因此，不定积分是： \[ \boxed{-\frac{3}{16} (1 - 2x^2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{40} (1 - 2x^2)^{\frac{5}{3}} + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法应用，涉及分式函数与根式函数的积分技巧，以及代数式的变形能力。

解题核心思路：

  1. 选择合适的代换变量：观察分母中的根式$\sqrt[3]{1-2x^2}$，设$u = 1 - 2x^2$，简化积分表达式。
  2. 拆分分子：将分子$x^3$拆分为$x^2 \cdot x$，利用代换变量$u$表达$x^2$，并结合$du$与$x \, dx$的关系，将原积分转化为关于$u$的积分。
  3. 分项积分：将被积函数拆分为两个幂函数的差，分别积分后合并结果。

破题关键点：

  • 代换变量的选择直接影响积分的简化程度，需优先考虑根号内的表达式。
  • 分子拆分与代换是将复杂分式转化为简单幂函数积分的关键步骤。

步骤1：设代换变量
令$u = 1 - 2x^2$，则$du = -4x \, dx$，即$x \, dx = -\frac{1}{4} \, du$。同时，由$u = 1 - 2x^2$可得$x^2 = \frac{1 - u}{2}$。

步骤2：改写积分表达式
将原积分中的$x^3$拆分为$x^2 \cdot x$，代入$x^2 = \frac{1 - u}{2}$和$x \, dx = -\frac{1}{4} \, du$：
$\begin{aligned}\int \frac{x^3}{\sqrt[3]{1-2x^2}} \, dx &= \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt[3]{u}} \, dx \\&= \int \frac{\frac{1 - u}{2} \cdot x}{\sqrt[3]{u}} \, dx \\&= \int \frac{\frac{1 - u}{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \left(-\frac{1}{4} \, du\right) \\&= -\frac{1}{8} \int \frac{1 - u}{\sqrt[3]{u}} \, du.\end{aligned}$

步骤3：分项积分
将被积函数拆分为两个幂函数：
$-\frac{1}{8} \int \left( u^{-\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} \right) \, du.$

步骤4：逐项积分
分别计算两个幂函数的积分：
$\begin{aligned}\int u^{-\frac{1}{3}} \, du &= \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}, \\\int u^{\frac{2}{3}} \, du &= \frac{u^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}.\end{aligned}$

步骤5：合并结果并回代
将积分结果代入原式并整理：
$\begin{aligned}-\frac{1}{8} \left( \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} \right) + C &= -\frac{3}{16} u^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{40} u^{\frac{5}{3}} + C \\&= -\frac{3}{16} (1 - 2x^2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{40} (1 - 2x^2)^{\frac{5}{3}} + C.\end{aligned}$