17.(12分)-|||-记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-|||-sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A).-|||-(1)证明: (a)^2=(b)^2+(c)^2;-|||-(2)若 a=5 . cos A=dfrac (25)(31), 求 Delta ABC 的周长.

【答案】

(1)见解析；(2)14

【解析】

(1)由题意，$\sin C\left(\sin A\cos B-\cos A\sin B\right)=\sin B\left(\sin C\cos A-\cos C\sin A\right)$，

$\therefore $由正弦定理得，$c\left(a\cos B-b\cos A\right)=b\left(c\cos A-a\cos C\right)$，

$\therefore $$ca\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C$，

即$ca\cos B=2bc\cos A-ab\cos C$

又由余弦定理得，$ca\cdot \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=2bc\cdot \dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}-ab\cdot \dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，

整理得$\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}={b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}$，

$\therefore $$2{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}$；

(2)由(1)知，$2{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}$，

$\therefore \cos A=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{2{a}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{25}{31}$，

$\because $$a=5$，

$\therefore 2bc=31$，

又${c}^{2}+{b}^{2}=2{a}^{2}=50$，

$\therefore {\left(b+c\right)}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}+2bc=50+31=81$，

$\therefore b+c=9$，

$\therefore a+b+c=5+9=14$.

即$\triangle ABC$的周长为$14$..