题目

2 1 0 0 0-|||-1 2 1 ... 0 0-|||-5.计算n阶行列式 0. 1 2 0 0-|||-: :-|||-0 0 0 2 1-|||-0 0 0 1 2

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查三对角矩阵行列式的计算，需要掌握递推法或初等行变换的解题思路。

解题核心思路：

  1. 观察矩阵结构：矩阵主对角线元素为2，上下相邻对角线元素为1，其余为0，形成三对角结构。
  2. 递推关系：通过展开或行变换，发现行列式满足递推公式 $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$，结合初始条件求解。
  3. 通项公式：通过递推关系求出通项，最终得到行列式的值为 $n+1$。

方法一：递推法

  1. 定义行列式：设 $n$ 阶行列式为 $D_n$，形式如下：
    $D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

  2. 递推关系：
    沿第一行展开行列式：
    $D_n = 2 \cdot D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}_{n-1}$
    对第二个行列式进行行变换（将第一行减去第二行），化简后可得：
    $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

  3. 初始条件：

    • $D_1 = 2$
    • $D_2 = \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$

  4. 求通项：
    递推方程 $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ 的特征方程为 $r^2 - 2r + 1 = 0$，解得重根 $r=1$。
    通解为 $D_n = A + Bn$，代入初始条件得 $A=1$，$B=1$，故 $D_n = n + 1$。

方法二：初等行变换

  1. 化简矩阵：通过行变换将矩阵化为上三角矩阵。
    • 将第2行减去第1行的 $\frac{1}{2}$ 倍，消去第2行第1列的1。
    • 重复类似操作，最终得到上三角矩阵，主对角线元素为 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \ldots, \frac{n+1}{n}$。
  2. 行列式值：上三角矩阵行列式为主对角线元素乘积，化简后结果仍为 $n+1$。