题目
13.求由曲面z=8-x^2-y^2与z=2sqrt(x^2)+y^(2)所围成立体的体积.
13.求由曲面$z=8-x^{2}-y^{2}$与$z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}$所围成立体的体积.
题目解答
答案
为了求由曲面 $ z = 8 - x^2 - y^2 $ 与 $ z = 2\sqrt{x^2 + y^2} $ 所围成立体的体积，我们首先需要确定这两个曲面的交点。将两个方程设置为相等，我们得到：
\[ 8 - x^2 - y^2 = 2\sqrt{x^2 + y^2}. \]
设 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $。则方程变为：
\[ 8 - r^2 = 2r. \]
重新排列项，我们得到一个二次方程：
\[ r^2 + 2r - 8 = 0. \]
我们可以将这个二次方程分解为：
\[ (r + 4)(r - 2) = 0. \]
解为 $ r = -4 $ 和 $ r = 2 $。由于 $ r $ 代表半径，它必须是非负的，所以我们有 $ r = 2 $。这意味着交点发生在 $ x^2 + y^2 = 4 $。
接下来，我们需要在由 $ x^2 + y^2 = 4 $ 定义的区域上，找到两个曲面之间的体积。在极坐标中，体积 $ V $ 可以表示为：
\[ V = \iint_R \left( (8 - x^2 - y^2) - 2\sqrt{x^2 + y^2} \right) \, dA, \]
其中 $ R $ 是半径为2的圆盘。在极坐标中，$ x = r \cos \theta $，$ y = r \sin \theta $，且 $ dA = r \, dr \, d\theta $。因此，体积积分变为：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( (8 - r^2) - 2r \right) r \, dr \, d\theta. \]
简化被积函数，我们得到：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( 8r - r^3 - 2r^2 \right) \, dr \, d\theta. \]
我们首先对 $ r $ 进行积分：
\[ \int_0^2 \left( 8r - r^3 - 2r^2 \right) \, dr = \left[ 4r^2 - \frac{r^4}{4} - \frac{2r^3}{3} \right]_0^2. \]
代入积分的极限，我们得到：
\[ \left( 4(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} - \frac{2(2)^3}{3} \right) - \left( 4(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} - \frac{2(0)^3}{3} \right) = 16 - 4 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}. \]
现在，我们对 $ \theta $ 进行积分：
\[ V = \int_0^{2\pi} \frac{20}{3} \, d\theta = \frac{20}{3} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{20}{3} \cdot 2\pi = \frac{40\pi}{3}. \]
因此，由曲面所围成立体的体积为：
\[ \boxed{\frac{40\pi}{3}}. \]
解析
本题考查利用二重积分求空间立体的体积。解题思路如下：
- 首先，要求出两个曲面的交线，通过联立两个曲面方程$z = 8 - x^2 - y^2$与$z = 2\sqrt{x^2 + y^2}$，确定交线在$xOy$平面上的投影区域。
- 联立方程$8 - x^2 - y^2 = 2\sqrt{x^2 + y^2}$，设$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，则方程变为$8 - r^2 = 2r$。
- 移项得到二次方程$r^{2}+2r - 8 = 0$。
- 对二次方程进行因式分解：$(r + 4)(r - 2)=0$，解得$r=-4$或$r = 2$。
- 因为$r$表示半径，$r\geq0$，所以$r = 2$，即交线在$xOy$平面上的投影区域为$x^{2}+y^{2}\leq4$，也就是半径为$2$的圆盘。
- 然后，根据二重积分求体积的公式$V=\iint_{D}(z_{上}-z_{下})dA$，其中$z_{上}$是上方曲面的方程，$z_{下}$是下方曲面的方程，$D$是投影区域。
- 这里$z_{上}=8 - x^2 - y^2$，$z_{下}=2\sqrt{x^2 + y^2}$，$D$为$x^{2}+y^{2}\leq4$。
- 为了方便计算，将直角坐标转化为极坐标，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = rdr d\theta$，则体积$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}[(8 - r^2)-2r]r drd\theta$。
- 接着，计算二重积分。
- 先对$r$积分：
- 计算$\int_{0}^{2}(8r - r^3 - 2r^2)dr$，根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{2}(8r - r^3 - 2r^2)dr=\left[4r^{2}-\frac{r^{4}}{4}-\frac{2r^{3}}{3}\right]_{0}^{2}$。
- 代入上下限：$\left(4\times2^{2}-\frac{2^{4}}{4}-\frac{2\times2^{3}}{3}\right)-\left(4\times0^{2}-\frac{0^{4}}{4}-\frac{2\times0^{3}}{3}\right)$
- 计算得$16 - 4-\frac{16}{3}=\frac{48 - 12 - 16}{3}=\frac{20}{3}$。
- 再对$\theta$积分：
- 计算$\int_{0}^{2\pi}\frac{20}{3}d\theta$，根据积分公式$\int kdx=kx + C$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{2\pi}\frac{20}{3}d\theta=\frac{20}{3}[\theta]_{0}^{2\pi}$。
- 代入上下限：$\frac{20}{3}\times(2\pi-0)=\frac{40\pi}{3}$。
- 先对$r$积分：